現代の量子力学の行間埋め　第２章

式(2.24)の両辺を\(dt\)で割り、\(dt\to 0\)とする。左辺は微分の定義になるため、式(2.25)が導ける。

式(2.29)の右辺は \begin{eqnarray} \exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right] &=& 1+\frac{-iH}{\hbar}(t-t_0)+\frac{1}{2!}\frac{(-iH)^2}{\hbar^2}(t-t_0)^2+\frac{1}{3!}\frac{(-iH)^3}{\hbar^3}(t-t_0)^3\ldots \end{eqnarray} と書ける。両辺を微分すると \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right] &=& \frac{-iH}{\hbar}+\frac{(-iH)^2}{\hbar^2}(t-t_0)+\frac{3}{3!}\frac{(-iH)^3}{\hbar^3}(t-t_0)^2\ldots \\ \\ &=& \frac{-iH}{\hbar}\left(1+\frac{-iH}{\hbar}(t-t_0)+\frac{1}{2!}\frac{(-iH)^2}{\hbar^3}(t-t_0)^2\ldots\right) \\ \\ &=& \frac{-iH}{\hbar}\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right] \\ \\ \Leftrightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]&=&H\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right] \end{eqnarray} となり、これは式(2.25)となっている。

式(2.25)より \begin{eqnarray} &&i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathscr{U}(t,t_0) &=& H(t)\mathscr{U}(t,t_0) \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{1}{\mathscr{U}(t,t_0)}\frac{\partial}{\partial t}\mathscr{U}(t,t_0) &=& \frac{H(t)}{i\hbar} \\ \\ &\Leftrightarrow&\int_{t_0}^tdt^{\prime}\frac{1}{\mathscr{U}(t,t_0)}\frac{\partial}{\partial t}\mathscr{U}(t,t_0) &=& \int_{t_0}^{t} dt^{\prime}\frac{H(t^{\prime})}{i\hbar}&...&\text{両辺を}t\text{で積分した。} \\ \\ &\Leftrightarrow&\left[\log \mathscr{U}(t^{\prime},t_0)\right]_{t_0}^t &=& \int_{t_0}^{t} dt^{\prime}\frac{H(t^{\prime})}{i\hbar}&\\ \\ &\Leftrightarrow&\log \mathscr{U}(t,t_0)-\log \mathscr{U}(t_0,t_0) &=& \int_{t_0}^{t} dt^{\prime}\frac{H(t^{\prime})}{i\hbar}&\\ \\ &\Leftrightarrow&\log \mathscr{U}(t,t_0)-\log 1 &=& \int_{t_0}^{t} dt^{\prime}\frac{H(t^{\prime})}{i\hbar}&...&\text{式(2.21)より}dt\to 0\text{で}\mathscr{U}(t_0+dt,t_0)\text{は}1\text{になるから}\\ \\ &\Leftrightarrow&\log \mathscr{U}(t,t_0) &=& -\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt^{\prime}H(t^{\prime})&\\ \\ &\Leftrightarrow&\mathscr{U}(t,t_0) &=& \exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt^{\prime}H(t^{\prime})\right]&\\ \\ \end{eqnarray} と得られる。これを式(2.25)に代入すると \begin{eqnarray} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathscr{U}(t,t_0) &=& i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt^{\prime}H(t^{\prime})\right] \\ \\ &=& i\hbar\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt^{\prime}H(t^{\prime})\right]\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt^{\prime}H(t^{\prime})\right) \\ \\ &=& i\hbar\mathscr{U}(t,t_0)\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt^{\prime}H(t^{\prime})\right) \\ \\ &=& \mathscr{U}(t,t_0)\frac{\partial}{\partial t}\left(\int_{t_0}^{t} dt^{\prime}H(t^{\prime})\right) \\ \\ &=& \mathscr{U}(t,t_0)\frac{\partial}{\partial t}\left(H_0(t)-H_0(t^{\prime})\right)&...&H(t)\text{の原始関数を}H_0(t)\text{とした。} \\ \\ &=& \mathscr{U}(t,t_0)H(t)&...&H_0(t)\text{は定数なので微分して}0\text{になる。} \\ \\ &=& H(t)\mathscr{U}(t,t_0) \\ \\ \end{eqnarray} より式(2.25)を満たす。

\begin{eqnarray} \exp\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right) &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\exp\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right)\ketbra{a^{\prime} }{a^{\prime} } \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ketbra{a^{\prime\prime}}{a^{\prime\prime}}\exp\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right)\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ketbra{a^{\prime\prime}}{a^{\prime\prime}}\left[1-\frac{iHt}{\hbar}+\frac{1}{2!}\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right)^2+\ldots\right]\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ketbra{a^{\prime\prime}}{a^{\prime\prime}}\left[1-\frac{iE_{\alpha^{\prime}}t}{\hbar}+\frac{1}{2!}\left(-\frac{iE_{\alpha^{\prime}}t}{\hbar}\right)^2+\ldots\right]\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}}&...&\ket{\alpha^{\prime}}\text{は}H\text{の固有ケットであるため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ketbra{a^{\prime\prime} }{a^{\prime\prime} }\exp\left(-\frac{iE_{\alpha^{\prime}}t}{\hbar}\right)\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\exp\left(-\frac{iE_{\alpha^{\prime}}t}{\hbar}\right)\ket{a^{\prime\prime}}\braket{a^{\prime\prime}|a^{\prime}}\bra{a^{\prime}}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\exp\left(-\frac{iE_{\alpha^{\prime}}t}{\hbar}\right)\ket{a^{\prime\prime}}\delta_{a^{\prime\prime},a^{\prime}}\bra{a^{\prime}}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime} }\exp\left(-\frac{iE_{\alpha^{\prime}}t}{\hbar}\right)\ket{a^{\prime} }\bra{a^{\prime} }&...&\text{クロネッカーのデルタより}a^{\prime\prime}=a^{\prime}\text{の項だけ残した} \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

式(2.38)に式(2.37)を適用すると \begin{eqnarray} \ket{\alpha,t_0=0;t} &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha}\exp\left(\frac{-iE_{a^{\prime} } }{\hbar}\right)&...&\text{式(2.38)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\ket{a^{\prime}}c_{a^{\prime}}\exp\left(\frac{-iE_{a^{\prime} } }{\hbar}\right)&...&\text{式(2.37)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}c_{a^{\prime}}\exp\left(\frac{-iE_{a^{\prime} } }{\hbar}\right)\ket{a^{\prime}}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。このブラは \begin{eqnarray} \bra{\alpha,t_0=0;t} &=& \left(\displaystyle\sum_{a^{\prime}}c_{a^{\prime}}\exp\left(\frac{-iE_{a^{\prime} } }{\hbar}\right)\right)^*\bra{a^{\prime}}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}c_{a^{\prime}}^*\exp\left(\frac{iE_{a^{\prime} } }{\hbar}\right)\bra{a^{\prime}}& \\ \\ \end{eqnarray} となることから、 \begin{eqnarray} \braket{B} &=& \bra{\alpha,t_0=0;t}B\ket{\alpha,t_0=0;t} \\ \\ &=& \left[\displaystyle\sum_{a^{\prime}}c_{a^{\prime}}^*\exp\left(\frac{iE_{a^{\prime} } }{\hbar}\right)\bra{a^{\prime}}\right]B\ket{\alpha,t_0=0;t} \\ \\ &=& \left[\displaystyle\sum_{a^{\prime}}c_{a^{\prime}}^*\exp\left(\frac{iE_{a^{\prime} } }{\hbar}\right)\bra{a^{\prime}}\right]B\left[\displaystyle\sum_{a^{\prime\prime}}c_{a^{\prime\prime}}\exp\left(\frac{-iE_{a^{\prime\prime} } }{\hbar}\right)\ket{a^{\prime\prime}}\right] \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}c_{a^{\prime}}^*\exp\left(\frac{iE_{a^{\prime} } }{\hbar}\right)\bra{a^{\prime}}B\ket{a^{\prime\prime}}c_{a^{\prime\prime}}\exp\left(\frac{-iE_{a^{\prime\prime} } }{\hbar}\right) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}c_{a^{\prime}}^*c_{a^{\prime\prime}}\exp\left(\frac{i(E_{a^{\prime} }-E_{a^{\prime\prime} }) }{\hbar}\right)\bra{a^{\prime}}B\ket{a^{\prime\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}c_{a^{\prime}}^*c_{a^{\prime\prime}}\bra{a^{\prime}}B\ket{a^{\prime\prime}}\exp\left(\frac{-i(E_{a^{\prime\prime} }-E_{a^{\prime} }) }{\hbar}\right) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(S_z\)の固有ケットは\(\ket{\pm}\)であり、固有値は式(1.91)より\(S_z\ket{\pm}=\pm\frac{\hbar}{2}\ket{\pm}\)であることを利用する。
また、エネルギー固有状態であることを用いると \begin{eqnarray} H\ket{\pm}=E_{\pm}\ket{\pm} \end{eqnarray} となる。 \begin{eqnarray} H\ket{\pm} &=& -\left(\frac{eB}{m_ec}\right)S_z\ket{\pm} \\ \\ &=& -\left(\frac{eB}{m_ec}\right)\frac{\pm\hbar}{2}\ket{\pm}&...&\text{式(1.91)より} \\ \\ &=& \mp\left(\frac{eB}{m_ec}\right)\frac{\hbar}{2}\ket{\pm}& \\ \\ \end{eqnarray} となることから、 \begin{eqnarray} E_{\pm}&=&\mp\left(\frac{eB}{m_ec}\right)\frac{\hbar}{2} \\ \\ &=& \mp\frac{e\hbar B}{2m_ec} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(2.55)に式(2.54)を適用し、式(2.44)を用いると \begin{eqnarray} \ket{\alpha,t_0,t} &=& \mathscr{U}(t,0)\ket{\alpha} \\ \\ &=& \mathscr{U}(t,0)(c_+\ket{+}+c_-\ket{-}) \\ \\ &=& \mathscr{U}(t,0)c_+\ket{+}+\mathscr{U}(t,0)c_-\ket{-} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-iS_z\omega t}{\hbar}\right)c_+\ket{+}+\exp\left(\frac{-iS_z\omega t}{\hbar}\right)c_-\ket{-} \\ \\ &=& c_+\exp\left(\frac{-iS_z\omega t}{\hbar}\right)\ket{+}+c_-\exp\left(\frac{-iS_z\omega t}{\hbar}\right)\ket{-} \\ \\ &=& c_+\exp\left(\frac{-i\omega\frac{\hbar}{2}t}{\hbar}\right)\ket{+}+c_-\exp\left(\frac{-i\omega\frac{-\hbar}{2}t}{\hbar}\right)\ket{-}&...&S_z\ket{\pm}=\frac{\pm\hbar}{2}\ket{\pm}\text{を用いた。} \\ \\ &=& c_+\exp\left(-\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{+}+c_-\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} |\braket{S_x;\pm|\alpha,t_0=0;t}|^2 &=& |\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\bra{+}\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\bra{-}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-}\right)|^2&...&\text{式(2.56)に式(2.59)を代入したものと式(1.110a)を利用} \\ \\ &=& |\left(\frac{1}{2}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\braket{+|+}\pm\frac{1}{2}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\braket{-|-}\right)|^2&...&\text{直交条件を用いて}\braket{+|-}=0,\braket{-|+}=0\text{とした。} \\ \\ &=& |\left(\frac{1}{2}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\pm\frac{1}{2}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\right)|^2&...&\text{規格化条件より}\braket{+|+}=\braket{-|-}=1\\ \\ &=& \frac{1}{2^2}|\left(\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\pm\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\right)|^2&\\ \\ &=& \frac{1}{4}|\left(\cos\left(\frac{-\omega t}{2}\right)+i\sin\left(\frac{-\omega t}{2}\right)\right)\pm\left(\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right)|^2&...&\text{オイラーの公式より}\\ \\ &=& \frac{1}{4}|\left(\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right)\pm\left(\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right)|^2&\\ \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{4}|\left(\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right)+\left(\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right)|^2 &...&\bra{S_x;+}\\ \frac{1}{4}|\left(\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right)-\left(\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right)|^2 &...&\bra{S_x;-} \end{array} \right. \\ \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{4}|2\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)|^2 \\ \frac{1}{4}|-2i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)|^2 \end{array} \right. \\ \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} \cos^2\left(\frac{\omega t}{2}\right) \\ |i\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right)|^2 \end{array} \right. \\ \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} \cos^2\left(\frac{\omega t}{2}\right)&...&\bra{S_x;+} \\ \sin^2\left(\frac{\omega t}{2}\right)&...&\bra{S_x;-} \end{array} \right. \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(2.59)を用いることで \begin{eqnarray} \ket{\alpha,t_0=0,t} &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-} \\ \\ \\ \bra{\alpha,t_0=0,t} &=& (\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right))^*\bra{+}+(\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right))^*\bra{-} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right))\bra{-} \\ \\ \end{eqnarray} となるため、これらと式(1.111a)を用いると \begin{eqnarray} \braket{S_x} &=& \bra{\alpha,t_0;t}S_x\ket{\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right]\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}]\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-}\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right][\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}]\left[\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-}\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right]\left[\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\braket{+|+}\ket{-}+\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\braket{-|-}\ket{+}\right]&...&\text{直交性より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[\exp\left(\frac{i\omega t}{2}+\frac{i\omega t}{2}\right)\braket{+|+}\braket{-|-}+\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}+\frac{-i\omega t}{2}\right)\braket{-|-}\braket{+|+}\right]&...&\text{直交性より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[\exp\left(i\omega t\right)+\exp\left(-i\omega t\right)\right]&...&\text{正規性より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\cos\left(\omega t\right)&...&\text{オイラーの公式より}2\cos x=e^{ix}+e^{-ix} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(2.59)を用いることで \begin{eqnarray} \ket{\alpha,t_0=0,t} &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-} \\ \\ \\ \bra{\alpha,t_0=0,t} &=& (\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right))^*\bra{+}+(\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right))^*\bra{-} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right))\bra{-} \\ \\ \end{eqnarray} となるため、これらと式(1.111b)を用いると \begin{eqnarray} \braket{S_y} &=& \bra{\alpha,t_0;t}S_y\ket{\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right]\frac{\hbar}{2}[-i\ketbra{+}{-}+i\ketbra{-}{+}]\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-}\right] \\ \\ &=& \frac{i\hbar}{4}\left[\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right][-\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}]\left[\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-}\right] \\ \\ &=& \frac{i\hbar}{4}\left[\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right]\left[\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\braket{+|+}\ket{-}-\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\braket{-|-}\ket{+}\right]&...&\text{直交性より} \\ \\ &=& \frac{i\hbar}{4}\left[-\exp\left(\frac{i\omega t}{2}+\frac{i\omega t}{2}\right)\braket{+|+}\braket{-|-}+\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}+\frac{-i\omega t}{2}\right)\braket{-|-}\braket{+|+}\right]&...&\text{直交性より} \\ \\ &=& \frac{i\hbar}{4}\left[-\exp\left(i\omega t\right)+\exp\left(-i\omega t\right)\right]&...&\text{正規性より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{1}{2i}\left[\exp\left(i\omega t\right)-\exp\left(-i\omega t\right)\right]& \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\sin\left(\omega t\right)&...&\text{オイラーの公式より}2i\sin x=e^{ix}-e^{-ix} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(2.59)を用いることで \begin{eqnarray} \ket{\alpha,t_0=0,t} &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-} \\ \\ \\ \bra{\alpha,t_0=0,t} &=& (\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right))^*\bra{+}+(\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right))^*\bra{-} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right))\bra{-} \\ \\ \end{eqnarray} となるため、これらと式(1.90)を用いると \begin{eqnarray} \braket{S_y} &=& \bra{\alpha,t_0;t}S_z\ket{\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right]\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{+}-\ketbra{-}{-}]\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-}\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right][\ketbra{+}{+}-\ketbra{-}{-}]\left[\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\ket{+}+\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\ket{-}\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\bra{+}+\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\bra{-}\right]\left[\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}\right)\braket{+|+}\ket{+}-\exp\left(\frac{i\omega t}{2}\right)\braket{-|-}\ket{-}\right]&...&\text{直交性より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[\exp\left(\frac{i\omega t}{2}-\frac{i\omega t}{2}\right)\braket{+|+}\braket{+|+}-\exp\left(\frac{-i\omega t}{2}+\frac{i\omega t}{2}\right)\braket{-|-}\braket{-|-}\right]&...&\text{直交性より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[\exp\left(0\right)-\exp\left(0\right)\right]&...&\text{正規性より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{4}\left[1-1\right]& \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} となる。

式(2.64)をマクローリン展開する。ここではp.91中段の記載より\(m\)が小さいものとする。微小な\(x\)に対して \begin{eqnarray} (1+x)^n\simeq1+nx \end{eqnarray} と近似できることから、 \begin{eqnarray} E &=& [p^2c^2+m^2c^4]^{\frac{1}{2}} \\ \\ &=& pc\left[1+\frac{m^2c^2}{p^2}\right]^{\frac{1}{2}} \\ \\ &\simeq& pc\left[1+\frac{1}{2}\frac{m^2c^2}{p^2}\right]&...&\frac{m^2c^2}{p^2}\text{を十分小さい変数として扱い、マクローリン展開した} \\ \\ &=& pc\left[1+\frac{m^2c^2}{2p^2}\right] \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

定義に従って計算する。はじめに初期状態として式(2.63a)より\(\ket{\nu_e}=\cos\theta\ket{\nu_1}-\sin\theta\ket{\nu_2}\)を用いる。
これを時間発展させたケットは \begin{eqnarray} \ket{\alpha,t_0=0;t} &=& \exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)\ket{\nu_e}&...&\text{式(2.38)より} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)(\cos\theta\ket{\nu_1}-\sin\theta\ket{\nu_2})& \\ \\ &=& \cos\theta\exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)\ket{\nu_1}-\sin\theta\exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)\ket{\nu_2}& \\ \\ &=& \cos\theta\exp\left(\frac{-iE_1t}{\hbar}\right)\ket{\nu_1}-\sin\theta\exp\left(\frac{-iE_2t}{\hbar}\right)\ket{\nu_2}&...&E_1,E_2\text{をハミルトニアン}H\text{を}\ket{\nu_1},\ket{\nu_2}\text{に作用させたときの固有値とした。} \\ \\ &=& \cos\theta\exp\left(\frac{-ipc\left(1+\frac{m_1^2c^2}{2p^2}\right)t}{\hbar}\right)\ket{\nu_1}-\sin\theta\exp\left(\frac{-ipc\left(1+\frac{m_1^2c^2}{2p^2}\right)t}{\hbar}\right)\ket{\nu_2}&...&E_1,E_2\text{をとして、式(2.64)を用いた。その際、}m_1,m_2\text{をそれぞれの固有状態の時の質量とした。} \\ \\ &=& \cos\theta\exp\left(\frac{-i\left(pct+\frac{m_1^2c^4 ct}{2pcc}\right)}{\hbar}\right)\ket{\nu_1}-\sin\theta\exp\left(\frac{-i\left(pct+\frac{m_1^2c^4 ct}{2pc c}\right)}{\hbar}\right)\ket{\nu_2}& \\ \\ &=& \cos\theta\exp\left(\frac{-i\left(Et+\frac{m_1^2c^4 L}{2Ec}\right)}{\hbar}\right)\ket{\nu_1}-\sin\theta\exp\left(\frac{-i\left(Et+\frac{m_1^2c^4 L}{2E c}\right)}{\hbar}\right)\ket{\nu_2}&...&\text{式(2.65)下より}pc=E,ct=L\text{とした} \\ \\ &=& \cos\theta\exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\ket{\nu_1}-\sin\theta\exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\ket{\nu_2}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これが\(\ket{\nu_e}\)を取る確率を求めるために、\(\braket{\nu_e|\alpha,t_0=0;t}\)を計算すると \begin{eqnarray} \braket{\nu_e|\alpha,t_0=0;t} &=& [\cos\theta\bra{\nu_1}-\sin\theta\bra{\nu_2}]\left[\cos\theta\exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\ket{\nu_1}-\sin\theta\exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\ket{\nu_2}\right]& \\ \\ &=& \cos^2\theta\exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\braket{\nu_1|\nu_1}+\sin^2\theta\exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\braket{\nu_2|\nu_2}&...&\text{直交性より}\braket{\nu_1|\nu_2}=\braket{\nu_2|\nu_1}=0 \\ \\ &=& \cos^2\theta\exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\sin^2\theta\exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)&...&\text{規格化されていると考え}\braket{\nu_1|\nu_1}=\braket{\nu_2|\nu_2}=1 \\ \\ &=& \exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}\right)\left[\cos^2\theta\exp\left(-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\sin^2\theta\exp\left(-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\right]& \\ \\ &=& \exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}\right)\left[\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\right]&...&\text{三角関数に関する公式より}\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2},\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2} \\ \\ \end{eqnarray} これを用いて確率を求めると \begin{eqnarray} P(\nu_e\to\nu_e) &=& |\braket{\nu_e|\alpha,t_0=0;t}|^2 \\ \\ &=& \braket{\nu_e|\alpha,t_0=0;t}^*\braket{\nu_e|\alpha,t_0=0;t} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{iEt}{\hbar}\right)\left[\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\right]\\ &&\cdot \exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}\right)\left[\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\right]\\ \\ &=& \left[\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\right]\\ &&\cdot \left[\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\right]\\ \\ &=& \frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right) \\ &&+\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)\\ \\ &=& \frac{(1+\cos 2\theta)^2}{2^2}+\frac{1+\cos 2\theta}{2}\frac{1-\cos 2\theta}{2}\exp\left(\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}-\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right) \\ &&+\frac{1-\cos 2\theta}{2}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\exp\left(-\frac{im_1^2c^4 L}{2E\hbar c}+\frac{im_2^2c^4 L}{2E\hbar c}\right)+\frac{(1-\cos 2\theta)^2}{2^2}\\ \\ &=& \frac{(1+\cos 2\theta)^2+(1-\cos 2\theta)^2}{4}+\frac{1-\cos^2 2\theta}{4}\exp\left(\frac{ic^4 L}{2E\hbar c}(m_1^2-m_2^2)\right)+\frac{1-\cos^2 2\theta}{4}\exp\left(-\frac{ic^4 L}{2E\hbar c}(m_1^2-m_2^2)\right)\\ \\ &=& \frac{1+\cos^2 2\theta}{2}+\frac{1-\cos^2 2\theta}{4}\exp\left(\frac{ic^4 L}{2E\hbar c}\Delta m^2\right)+\frac{1-\cos^2 2\theta}{4}\exp\left(-\frac{ic^4 L}{2E\hbar c}\Delta m^2\right)&...&\text{式2.65}下より\Delta m^2=m_1^2-m_2^2\\ \\ &=& \frac{1+\cos^2 2\theta}{2}+\frac{\sin^2 2\theta}{4}\exp\left(\frac{ic^4 L}{2E\hbar c}\Delta m^2\right)+\frac{\sin^2 2\theta}{4}\exp\left(-\frac{ic^4 L}{2E\hbar c}\Delta m^2\right)&...&\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\text{より}\\ \\ &=& \frac{1+\cos^2 2\theta}{2}+\frac{\sin^2 2\theta}{2}\cos\left(\frac{c^4 L}{2E\hbar c}\Delta m^2\right)&...&\text{オイラーの公式より}\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ \\ &=& \frac{1+\cos^2 2\theta}{2}+\frac{\sin^2 2\theta}{2}\left[1-2\sin^2\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{c^4 L}{2E\hbar c}\Delta m^2\right)\right]&...&\text{三角関数の公式より}\cos 2x=1-2\sin^2x\\ \\ &=& \frac{1+\cos^2 2\theta+\sin^22\theta}{2}-\frac{\sin^22\theta}{2}2\sin^2\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{c^4 L}{2E\hbar c}\Delta m^2\right)&\\ \\ &=& \frac{1+1}{2}-\sin^22\theta\sin^2\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{c^4 L}{2E\hbar c}\Delta m^2\right)&...&\sin^2x+\cos^2x=1\text{を用いた}\\ \\ &=& 1-\sin^22\theta\sin^2\left(\Delta m^2c^4\frac{ L}{4E\hbar c}\right)\\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

式(2.37)(2.38)の変形を用いると式(2.66)より \begin{eqnarray} C(t) &=& \braket{\alpha|\alpha,t_0=0,t} \\ \\ &=& \bra{\alpha}\mathscr{U}(t,0)\ket{\alpha} \\ \\ &=& \left(\displaystyle\sum_{a^{\prime}}c^*_{\alpha}\bra{a^{\prime}}\right)\left[\displaystyle\sum_{a^{\prime\prime}}\exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)c_{a^{\prime\prime}}\ket{a^{\prime\prime}}\right] \\ \\ &=& \left(\displaystyle\sum_{ a^{ \prime} }c^*_{\alpha}\bra{a^{\prime} } \right) \left[\displaystyle\sum_{a^{\prime\prime}}c_{a^{\prime\prime}}\exp\left(\frac{-iE_{\alpha^{\prime\prime}}t}{\hbar}\right)\ket{a^{\prime\prime}}\right]&...&\ket{a^{\prime\prime}}\text{は}H\text{の固有ケットであるため。その固有値は}E_{a^{\prime\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime} }\sum_{a^{\prime\prime} }\left(c^*_{\alpha}\bra{a^{\prime}}\right)\left[\ket{a^{\prime\prime}}\exp\left(c_{a^{\prime\prime} }\frac{-iE_{\alpha^{\prime\prime} }t}{\hbar}\right)\right] \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime} }\sum_{a^{\prime\prime} }c^*_{\alpha}c_{a^{\prime\prime} }\braket{a^{\prime}|a^{\prime\prime} }\exp\left(\frac{-iE_{\alpha^{\prime\prime} }t}{\hbar}\right) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime} }\sum_{a^{\prime\prime} }c^*_{\alpha}c_{a^{\prime\prime} }\delta_{a^{\prime},a^{\prime\prime} }\exp\left(\frac{-iE_{\alpha^{\prime\prime} }t}{\hbar}\right)&...&\text{式(1.60)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime} }c^*_{\alpha}c_{a^{\prime} }\exp\left(\frac{-iE_{\alpha^{\prime} }t}{\hbar}\right)&...&\text{クロネッカーのデルタより}a^{\prime\prime}=a^{\prime}\text{以外0とした} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime} }|c_{a^{\prime} }|^2\exp\left(\frac{-iE_{\alpha^{\prime} }t}{\hbar}\right)& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

厳密な議論ではないため簡単に仮定をおいて説明する。式(2.72)上において、\(|g(E)|^2\rho(E)\)が\(E=E_0\)周りで幅\(\varDelta E\)の幅を持つとすることを \begin{eqnarray} |g(E)|^2\rho(E) &=& \begin{cases} \frac{1}{\varDelta E} & ( E_0-\frac{\varDelta E}{2} \leqq E \leqq E_0+\frac{\varDelta E}{2}) \\ 0 & ( other ) \end{cases} \end{eqnarray} とする。そう仮定すると式(2.72)の計算は \begin{eqnarray} C(t) &=& \exp\left(\frac{-iE_0t}{\hbar}\right)\int dE|g(E)|^2\rho(E)\exp\left[\frac{-i(E-E_0)t}{\hbar}\right] \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-iE_0t}{\hbar}\right)\int_{E_0-\frac{\varDelta E}{2}}^{E_0+\frac{\varDelta E}{2}} dE\frac{1}{\varDelta E}\exp\left[\frac{-i(E-E_0)t}{\hbar}\right] \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-iE_0t}{\hbar}\right)\frac{1}{\varDelta E}\left[\frac{-\hbar}{it}\exp\left[\frac{-i(E-E_0)t}{\hbar}\right]\right]_{E_0-\frac{\varDelta E}{2}}^{E_0+\frac{\varDelta E}{2}} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-iE_0t}{\hbar}\right)\frac{1}{\varDelta E}\left[\frac{-\hbar}{it}\exp\left[\frac{-i\varDelta Et}{2\hbar}\right]-\frac{-\hbar}{it}\exp\left[\frac{i\varDelta Et}{2\hbar}\right]\right] \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-iE_0t}{\hbar}\right)\frac{1}{\varDelta E}\left[\frac{2\hbar}{t}\sin\left[\frac{\varDelta Et}{2\hbar}\right]\right] \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-iE_0t}{\hbar}\right)\frac{\sin\left[\frac{\varDelta Et}{2\hbar}\right]}{\frac{\varDelta Et}{2\hbar}} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-iE_0t}{\hbar}\right)\text{sinc}\left(\frac{\varDelta Et}{2\hbar}\right) \\ \\ \\ |C(t)|^2&=&\text{sinc}^2\left(\frac{\varDelta Et}{2\hbar}\right) \\ \\ |C(\frac{\hbar}{\varDelta E})|^2&=&\text{sinc}^2\left(\frac{\varDelta E\frac{\hbar}{\varDelta E}}{2\hbar}\right) \\ \\ &=& \text{sinc}^2\left(\frac{1}{2}\right) \\ \\ &\sim& 0.92 \end{eqnarray} が得られる。1から目立ってずれていると言えそうである。

式(2.80)のようにアプローチ1を用いると\(\boldsymbol{\text{x}}\)の期待値は \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}} &=& \bra{\alpha}\left(1-\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\right)^*\boldsymbol{\text{x}}\left(1-\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\right)\ket{\alpha} \\ \\ &=& \bra{\alpha}\left(1+\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\right)\boldsymbol{\text{x}}\left(1-\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\right)\ket{\alpha} \\ \\ &=& \bra{\alpha}\boldsymbol{\text{x}}\left(1-\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\right)+\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\boldsymbol{\text{x}}\left(1-\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\right)\ket{\alpha} \\ \\ &=& \bra{\alpha}\boldsymbol{\text{x}}-\boldsymbol{\text{x}}\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}+\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\boldsymbol{\text{x}}-\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\boldsymbol{\text{x}}\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\ket{\alpha} \\ \\ &\simeq& \bra{\alpha}\boldsymbol{\text{x}}-\boldsymbol{\text{x}}\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}+\frac{i\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }{\hbar}\boldsymbol{\text{x}}\ket{\alpha}&...&d\boldsymbol{\text{x}}^{\prime 2}\text{の項なので微小であるため無視した} \\ \\ &=& \bra{\alpha}\boldsymbol{\text{x}}+\frac{i }{\hbar}\left[\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime}\boldsymbol{\text{x}}-\boldsymbol{\text{x}}\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime}\right]\ket{\alpha}& \\ \\ &=& \bra{\alpha}\boldsymbol{\text{x}}+\frac{i }{\hbar}\left[\boldsymbol{p}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime},\boldsymbol{\text{x}}\right]\ket{\alpha}& \\ \\ &=& \bra{\alpha}\boldsymbol{\text{x}}+\frac{i }{\hbar}\left[\boldsymbol{p},\boldsymbol{\text{x}}\right]d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime}\ket{\alpha}&...&\text{式(1.208)において}\boldsymbol{K}=\frac{\boldsymbol{p}}{\hbar}\text{を代入したものと同様} \\ \\ &=& \bra{\alpha}\boldsymbol{\text{x}}+\frac{i }{\hbar}\frac{\hbar}{i}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime}\ket{\alpha}&...&\text{式(1.215)(1.232b)より} \\ \\ &=& \bra{\alpha}\boldsymbol{\text{x}}\ket{\alpha}+\bra{\alpha}d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime}\ket{\alpha}& \\ \\ &=& \braket{\boldsymbol{ \text{x} }}+\braket{d\boldsymbol{\text{x} }^{\prime} }& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。途中、アプローチ2による計算である、式(2.81)と全く同様の計算が含まれているため、アプローチ2でも同様の結果が得られる。

\begin{eqnarray} \mathscr{U}H &=& \exp\left[\frac{-iHt}{\hbar}\right]H \\ \\ &=& \left[1+\left(\frac{-it}{\hbar}\right)H+\frac{1}{2!}\left(\frac{-it}{\hbar}\right)^2H^2+\frac{1}{3!}\left(\frac{-it}{\hbar}\right)^3H^3\ldots\right]H \\ \\ &=& \left[H+\left(\frac{-it}{\hbar}\right)H^2+\frac{1}{2!}\left(\frac{-it}{\hbar}\right)^2H^3+\frac{1}{3!}\left(\frac{-it}{\hbar}\right)^3H^4\ldots\right] \\ \\ &=& H\left[1+\left(\frac{-it}{\hbar}\right)H+\frac{1}{2!}\left(\frac{-it}{\hbar}\right)^2H^2+\frac{1}{3!}\left(\frac{-it}{\hbar}\right)^3H^3\ldots\right] \\ \\ &=& H\left[1+\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)+\frac{1}{2!}\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)^2+\frac{1}{3!}\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)^3\ldots\right] \\ \\ &=& H\exp\left[\frac{-iHt}{\hbar}\right] \\ \\ &=& H\mathscr{U} \\ \\ \end{eqnarray} となることからこの二つは交換できるといえる。

\(x_i=x\)について計算する。ここで、\(\boldsymbol{p}=(p_x,p_y,p_z)\)として、微分する際は\(p_1,p_2,p_3\)とする。 \begin{eqnarray} [x,F(\boldsymbol{p})] &=& [x,F(p_x,p_y,p_z)] \\ \\ &=& [x,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(p_x\frac{\partial}{\partial p_1}+p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n}F(0,0,0)]&...&\text{多変数のマクローリン展開より} \\ \\ &=& [x,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n}F(0,0,0)+\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}p_x^{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_1^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)]&...&n_x\text{を}p_x\text{の指数として}n_x=0,n_x\geq 1\text{に分けた。} \\ \\ &=& [x,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n}F(0,0,0)]+[x,\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}p_x^{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_1^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)]& \\ \\ &=& 0+[x,\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}p_x^{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_1^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)]&...&\text{式(1.215)より}x\text{と}p_y,p_z\text{は交換するため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_1^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)[x,p_x^{n_x}]&...&x\text{と交換できない項が}p_x\text{のみであるため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_1^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)n_xi\hbar p_x^{n_x-1}&...&(1) \\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}n_x p_x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_1^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)& \\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{n!}{n_x!(n-n_x)!}n_xp_x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_x^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)&\\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}n\frac{(n-1)!}{(n_x-1)!(n-n_x)!}p_x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_x^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)&\\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}\frac{(n-1)!}{(n_x-1)!(n-1-(n_x-1))!}p_x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_x^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)&\\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}{}_{n-1}\text{C}_{n_x-1}p_x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_x^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)&\\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-1-(n_x-1)=0}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}{}_{n-1}\text{C}_{n_x-1}p_x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial p_x^{n_x}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}F(0,0,0)&\\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-1-(n_x-1)=0}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}{}_{n-1}\text{C}_{n_x-1}p_x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x-1}}{\partial p_x^{n_x-1}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n-n_x}\frac{\partial F(0,0,0)}{\partial p_x}&\\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n_x^{\prime}=0}^{\infty}\sum_{n^{\prime}-n_x^{\prime}=0}^{\infty}\frac{1}{n^{\prime}!}{}_{n^{\prime}}\text{C}_{n_x^{\prime}}p_x^{n_x^{\prime}}\frac{\partial^{n_x^{\prime}}}{\partial p_x^{n_x^{\prime}}}\left(p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n^{\prime}-n_x^{\prime}}\frac{\partial}{\partial p_x}F(0,0,0)&...&n_x-1=n_x^{\prime},n-1=n^{\prime}\text{とした}\\ \\ &=& i\hbar\displaystyle\sum_{n^{\prime}=0}^{\infty}\frac{1}{n^{\prime}!}\left(p_x\frac{\partial}{\partial p_1}+p_y\frac{\partial}{\partial p_2}+p_z\frac{\partial}{\partial p_3}\right)^{n^{\prime}}\frac{\partial F(0,0,0)}{\partial p_x}&\\ \\ &=& i\hbar\frac{\partial F(p_x,p_y,p_z)}{\partial p_x}&...&\text{多変数のマクローリン展開より}\\ \\ &=& i\hbar\frac{\partial F(\boldsymbol{p})}{\partial p_x}&\\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

1. (1)\([x,p^{n}]=i\hbar np^{n-1}\)を利用
▼ 詳細を開く…2024/8/11作成
\(n=1\)の時、式(1.215)と同様のため式は満たされている。
\(n=k(k\geq 1)\)の時、\([x,p^{k}]=i\hbar kp^{k-1}\)が成立しているとすると \begin{eqnarray} [x,p^{k+1}] &=& [x,pp^{k}] \\ \\ &=& [x,p]p^{k}+p[x,p^k]&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& i\hbar p^{k}+p[x,p^k]&...&\text{式(1.215)} \\ \\ &=& i\hbar p^{k}+pi\hbar kp^{k-1}&...&\text{仮定より} \\ \\ &=& i\hbar p^{k}+i\hbar kp^{k}& \\ \\ &=& i\hbar(k+1)p^{k}& \\ \\ \end{eqnarray} より、\(n=k+1\)のときも成立するため、帰納的に成立する。

\(p_i=p_x\)について計算する。ここで、\(\boldsymbol{x}=(x,y,z)\)として、微分する際は\(x_1,x_2,x_3\)とする。 \begin{eqnarray} [p_x,G(\boldsymbol{x})] &=& [p_x,G(x,y,z)] \\ \\ &=& [p_x,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(x\frac{\partial}{\partial x_1}+y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n}G(0,0,0)]&...&\text{多変数のマクローリン展開より} \\ \\ &=& [p_x,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n}G(0,0,0)+\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}x^{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x_1^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)]&...&n_x\text{を}x\text{の指数として}n_x=0,n_x\geq 1\text{に分けた。} \\ \\ &=& [p_x,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n}G(0,0,0)]+[p_x,\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}x^{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x_1^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)]& \\ \\ &=& 0+[p_x,\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}x^{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x_1^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)]&...&\text{式(1.215)より}p_x\text{と}y,z\text{は交換するため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x_1^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)[p_x,x^{n_x}]&...&p_x\text{と交換できない項が}x\text{のみであるため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x_1^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)(-n_xi\hbar x^{n_x-1})&...&(1) \\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}{}_{n}\text{C}_{n_x}n_x x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x_1^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)& \\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{n!}{n_x!(n-n_x)!}n_xx^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)&\\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{n!}n\frac{(n-1)!}{(n_x-1)!(n-n_x)!}x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)&\\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}\frac{(n-1)!}{(n_x-1)!(n-1-(n_x-1))!}x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)&\\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-n_x=0}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}{}_{n-1}\text{C}_{n_x-1}x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)&\\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-1-(n_x-1)=0}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}{}_{n-1}\text{C}_{n_x-1}x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x}}{\partial x^{n_x}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}G(0,0,0)&\\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n_x=1}^{\infty}\sum_{n-1-(n_x-1)=0}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}{}_{n-1}\text{C}_{n_x-1}x^{n_x-1}\frac{\partial^{n_x-1}}{\partial x^{n_x-1}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n-n_x}\frac{\partial G(0,0,0)}{\partial x}&\\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n_x^{\prime}=0}^{\infty}\sum_{n^{\prime}-n_x^{\prime}=0}^{\infty}\frac{1}{n^{\prime}!}{}_{n^{\prime}}\text{C}_{n_x^{\prime}}x^{n_x^{\prime}}\frac{\partial^{n_x^{\prime}}}{\partial x^{n_x^{\prime}}}\left(y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n^{\prime}-n_x^{\prime}}\frac{\partial}{\partial x}G(0,0,0)&...&n_x-1=n_x^{\prime},n-1=n^{\prime}\text{とした}\\ \\ &=& -i\hbar\displaystyle\sum_{n^{\prime}=0}^{\infty}\frac{1}{n^{\prime}!}\left(x\frac{\partial}{\partial x_1}+y\frac{\partial}{\partial x_2}+z\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^{n^{\prime}}\frac{\partial G(0,0,0)}{\partial x}&\\ \\ &=& -i\hbar\frac{\partial G(x,y,z)}{\partial x}&...&\text{多変数のマクローリン展開より}\\ \\ &=& -i\hbar\frac{\partial G(\boldsymbol{x})}{\partial x}&\\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

1. (1)\([p,x^{n}]=-i\hbar nx^{n-1}\)を利用
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\(n=1\)の時、式(1.215)に式(1.232b)を用いることで同様の式が得られるため満たされている。
\(n=k(k\geq 1)\)の時、\([p,x^{k}]=-i\hbar kx^{k-1}\)が成立しているとすると \begin{eqnarray} [p,x^{k+1}] &=& [p,xx^{k}] \\ \\ &=& [p,x]x^{k}+x[p,x^k]&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& -i\hbar x^{k}+x[p,x^k]&...&\text{式(1.215)と式(1.232b)より} \\ \\ &=& -i\hbar x^{k}-xi\hbar kx^{k-1}&...&\text{仮定より} \\ \\ &=& -i\hbar x^{k}-i\hbar kx^{k}& \\ \\ &=& -i\hbar(k+1)x^{k}& \\ \\ \end{eqnarray} より、\(n=k+1\)のときも成立するため、帰納的に成立する。

\begin{eqnarray} \mathscr{U}^{\dagger}A(0)\mathscr{U}\mathscr{U}^{\dagger}\ket{a^{\prime}} &=& \mathscr{U}^{\dagger}A(0)(\mathscr{U}\mathscr{U}^{\dagger})\ket{a^{\prime}} \\ \\ &=& \mathscr{U}^{\dagger}A(0)1\ket{a^{\prime}}&...&\text{式(2.11)より} \\ \\ &=& \mathscr{U}^{\dagger}a^{\prime}\ket{a^{\prime}}&...&\text{式(2.111)より} \\ \\ &=& a^{\prime}\mathscr{U}^{\dagger}\ket{a^{\prime}}& \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

式(2.83)より、 \begin{eqnarray} \mathscr{U}^{\dagger}&=&\left[\exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)\right]^{\dagger} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{iHt}{\hbar}\right) \end{eqnarray} となる。 式(2.27)を導出する際に用いる式(2.25)に代入すると \begin{eqnarray} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathscr{U}^{\dagger} &=& i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\exp\left(\frac{iHt}{\hbar}\right) \\ \\ &=& i\hbar\frac{iH}{\hbar}\exp\left(\frac{iHt}{\hbar}\right) \\ \\ &=& -H\exp\left(\frac{iHt}{\hbar}\right) \\ \\ &=& -H\mathscr{U}^{\dagger} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。右からケット\(\ket{a^{\prime}}\)を作用させると \begin{eqnarray} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathscr{U}^{\dagger}\ket{a^{\prime}} &=& -H\mathscr{U}^{\dagger}\ket{a^{\prime}} \\ \\ \Leftrightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{a^{\prime}}_H &=& -H\ket{a^{\prime}}_H&...&\mathscr{U}^{\dagger}\ket{a^{\prime}}=\ket{a^{\prime}}_H \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} A^{(H)}(t) &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}A^{(H)}(t)\ket{a^{\prime},t}_H{}_H\bra{a^{\prime},t} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}a^{\prime}\ket{a^{\prime},t}_H{}_H\bra{a^{\prime},t}&...&\text{式(2.114)より}A^{(H)}\ket{a^{\prime},t}=a^{\prime}\ket{a^{\prime},t} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ket{a^{\prime\prime},t}_H{}_H\bra{a^{\prime\prime},t}a^{\prime}\ket{a^{\prime},t}_H{}_H\bra{a^{\prime},t}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ket{a^{\prime\prime},t}_Ha^{\prime}{}_H\braket{a^{\prime\prime},t|a^{\prime},t}_H{}_H\bra{a^{\prime},t}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ket{a^{\prime\prime},t}_Ha^{\prime}\bra{a^{\prime\prime}}\mathscr{U}(t)\mathscr{U}^{\dagger}\ket{a^{\prime}}{}_H\bra{a^{\prime},t}&...&\text{式(2.115)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ket{a^{\prime\prime},t}_Ha^{\prime}\braket{a^{\prime\prime}|a^{\prime}}{}_H\bra{a^{\prime},t}&...&\text{式(2.11)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ket{a^{\prime\prime},t}_Ha^{\prime}\delta_{a^{\prime\prime},a^{\prime}}{}_H\bra{a^{\prime},t}&...&\text{式(1.60)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\ket{a^{\prime},t}_Ha^{\prime}{}_H\bra{a^{\prime},t}&...&\text{クロネッカーのデルタより}a^{\prime\prime}=a^{\prime}\text{のみ残る} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\mathscr{U}^{\dagger}\ket{a^{\prime}}a^{\prime}\bra{a^{\prime}}\mathscr{U}&...&\text{式(2.115)より} \\ \\ \end{eqnarray} となる。ここで \begin{eqnarray} A^{(S)} &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}A^{(S)}\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}a^{\prime}\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ketbra{a^{\prime\prime}}{a^{\prime\prime}}a^{\prime}\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ket{a^{\prime\prime}}a^{\prime}\braket{a^{\prime\prime}|a^{\prime}}\bra{a^{\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ket{a^{\prime\prime}}a^{\prime}\delta_{a^{\prime\prime},a^{\prime}}\bra{a^{\prime}}&...&\text{式(1.60)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\ket{a^{\prime}}a^{\prime}\bra{a^{\prime}}&...&\text{クロネッカーのデルタより}a^{\prime\prime}=a^{\prime}\text{の項のみ残る} \\ \\ \end{eqnarray} であることから、 \begin{eqnarray} A^{(H)}(t) &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\mathscr{U}^{\dagger}\ket{a^{\prime}}a^{\prime}\bra{a^{\prime}}\mathscr{U}& \\ \\ &=& \mathscr{U}^{\dagger}A^{(S)}\mathscr{U} \end{eqnarray} と導出できる。