現代の量子力学の行間埋め　第１章

エネルギーを\(-\boldsymbol{\mu}\cdot\boldsymbol{B}\)と書くことができるため、力の大きさは \begin{eqnarray} F_z &=& -\frac{d}{dz}\left(-\boldsymbol{\mu}\cdot\boldsymbol{B}\right) \\ \\ &=& \frac{d}{dz}\left(\boldsymbol{\mu}\cdot\boldsymbol{B}\right) \\ \\ &=& \frac{d}{dz}\left(\mu_xB_x+\mu_yB_y+\mu_zB_z\right) \\ \\ &\simeq& \frac{d}{dz}\left(\mu_zB_z\right)&...&B_z\text{以外の磁場を無視するため} \\ \\ &=& \mu_z\frac{d}{dz}B_z&...&\text{磁場は位置によって変化するが、スピンは位置によって変化しないため} \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

図1.5より、\(\hat{\boldsymbol{\text{x}}},\hat{\boldsymbol{\text{y}}}\)を\(\frac{\pi}{4}\)だけ回転させたものであることから、回転行列を用いて \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} E_0\hat{\boldsymbol{\text{x}}}^{\prime}\cos(kz-\omega t) \\ E_0\hat{\boldsymbol{\text{y}}}^{\prime}\sin(kz-\omega t) \\ \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos \frac{\pi}{4}&\sin\frac{\pi}{4} \\ -\sin \frac{\pi}{4}&\cos\frac{\pi}{4} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} E_0\hat{\boldsymbol{\text{x}}}\cos(kz-\omega t) \\ E_0\hat{\boldsymbol{\text{y}}}\sin(kz-\omega t) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos \frac{\pi}{4}E_0\hat{\boldsymbol{\text{x}}}\cos(kz-\omega t)+\sin\frac{\pi}{4}E_0\hat{\boldsymbol{\text{y}}}\sin(kz-\omega t) \\ -\sin \frac{\pi}{4}E_0\hat{\boldsymbol{\text{x}}}\cos(kz-\omega t)+\cos\frac{\pi}{4}E_0\hat{\boldsymbol{\text{y}}}\sin(kz-\omega t) \\ \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{\sqrt{2}}E_0\hat{\boldsymbol{\text{x}}}\cos(kz-\omega t)+\frac{1}{\sqrt{2}}E_0\hat{\boldsymbol{\text{y}}}\sin(kz-\omega t) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}E_0\hat{\boldsymbol{\text{x}}}\cos(kz-\omega t)+\frac{1}{\sqrt{2}}E_0\hat{\boldsymbol{\text{y}}}\sin(kz-\omega t) \\ \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} E_0\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\boldsymbol{\text{x}}}\cos(kz-\omega t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\boldsymbol{\text{y}}}\sin(kz-\omega t)\right] \\ E_0\left[-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\boldsymbol{\text{x}}}\cos(kz-\omega t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\boldsymbol{\text{y}}}\sin(kz-\omega t)\right] \\ \end{array} \right)\\ \\ \end{eqnarray} と書ける。

式(1.28)が成り立つとき、 \begin{eqnarray} &&\braket{\alpha|\beta}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{\beta|\alpha}^*&=&0&...&\text{式(1.26)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& (\braket{\beta|\alpha}^*)^*&=&0^* \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{\beta|\alpha}&=&0 &...&0\text{は実数であり、共役の共役は元の数であるため}\\ \\ \end{eqnarray} と書ける。

\((\ket{\beta}\bra{\alpha})\ket{\gamma}\)とその双対を考える。 \begin{eqnarray} && (\ket{\beta}\bra{\alpha})\ket{\gamma}&\overset{dc}{\longleftrightarrow}&\bra{\gamma}(\ket{\beta}\bra{\alpha})^{\dagger}&...&(1)\text{式(1.39)より} \\ \\ \end{eqnarray} である。また、 \begin{eqnarray} (\ket{\beta}\bra{\alpha})\ket{\gamma}=\braket{\alpha|\gamma}\ket{\beta} \end{eqnarray} であることから、 \begin{eqnarray} &&\braket{\alpha|\gamma}\ket{\beta}&\overset{dc}{\longleftrightarrow}&\bra{\beta}(\braket{\alpha|\gamma})^{*}&...&\text{式(1.24)より} \\ \\ && &=&\bra{\beta}(\braket{\gamma|\alpha})&...&\text{式(1.26)より} \\ \\ && &=&\bra{\gamma}(\ket{\alpha}\bra{\beta})&...&(2) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。(1)(2)から、式(1.50)が得られる。

式(1.61)に左側から\(\bra{a^{\prime\prime}}\)を作用させる。 \begin{eqnarray} && \ket{\alpha} &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}c_{a^{\prime}}\ket{a^{\prime}} \\ \\ &\Rightarrow& \braket{a^{\prime\prime}|\alpha} &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}c_{a^{\prime}}\braket{a^{\prime\prime}|a^{\prime}} \\ \\ && &=& c_{a^{\prime\prime}}\braket{a^{\prime\prime}|a^{\prime\prime}}&...&\text{式(1.59)直交性より} \\ \\ && &=& c_{a^{\prime\prime}}&...&\text{式(1.60)正規性より}\braket{a^{\prime\prime}|a^{\prime\prime}}=1 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。一般的な\(a^{\prime}\)についても成立するため、式(1.62)が成立する。

式(1.61)に左側から\(\bra{a^{\prime\prime}}\)を作用させる。 \begin{eqnarray} \ket{\beta}\bra{\alpha} &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{a^{(1)}|\beta} \\ \braket{a^{(2)}|\beta} \\ \braket{a^{(3)}|\beta} \\ \vdots \end{array} \right) \left( \braket{a^{(1)}|\alpha}^*, \braket{a^{(2)}|\alpha}^*, \braket{a^{(3)}|\alpha}^*, \ldots \right)&...&\text{式(1.80)(1.83)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{a^{(1)}|\beta}\braket{a^{(1)}|\alpha}^*&\braket{a^{(1)}|\beta}\braket{a^{(2)}|\alpha}^*&\ldots \\ \braket{a^{(2)}|\beta}\braket{a^{(1)}|\alpha}^*&\braket{a^{(2)}|\beta}\braket{a^{(2)}|\alpha}^*&\ldots \\ \vdots&\vdots&\ddots \end{array} \right) \end{eqnarray} が得られる。

\(\ket{a^{\prime}}\)は\(A\)の固有ケットであり、固有値は\(a^{\prime}\)であることを利用する。 \begin{eqnarray} \bra{a^{\prime\prime}}A\ket{a^{\prime}} &=& \bra{a^{\prime\prime}}(A\ket{a^{\prime}}) \\ \\ &=& \bra{a^{\prime\prime}}(a^{\prime}\ket{a^{\prime}})&...&\text{式(1.55)固有ケットの性質より}\\ \\ &=& a^{\prime}\braket{a^{\prime\prime}|a^{\prime}}&\\ \\ &=& a^{\prime}\delta_{a^{\prime\prime}a^{\prime}}&...&\text{式(1.60)より}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(1.20)において、\(S_z\)の固有ケットは\(\ket{S_z;\pm}\)の二つで、その固有値は\(\pm\frac{\hbar}{2}\)であることを用いる。p.27上部より、\(\ket{\pm}=\ket{S_z;\pm}\)と書くことにしているので、 \begin{eqnarray} S_z &=& \frac{\hbar}{2}\ket{+}\bra{+}+\left(-\frac{\hbar}{2}\right)\ket{-}\bra{-} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}] \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

エルミート的かどうかについては式(1.40)を用いる。式(1.93)を参考にすると \begin{eqnarray} S_+^{\dagger} &=& \hbar \left( \begin{array}{cccc} 0&1\\ 0&0 \end{array} \right)^{\dagger} \\ \\ &=& \hbar \left( \begin{array}{cccc} 0&0\\ 1&0 \end{array} \right) \\ \\ &\neq& S_+ \end{eqnarray} であるから非エルミート的である。\(S_-\)についても同様である。
一方で、式(1.50)を用いると \begin{eqnarray} S_+^{\dagger} &=& (\ket{+}\bra{-})^{\dagger} \\ \\ &=& \ket{-}\bra{+}&...&\text{式(1.50)より} \\ \\ &\neq& S_+^{\dagger} \end{eqnarray} であるから非エルミート的である。\(S_-\)についても同様である。

式(1.93a)を前提にして求める。式(1.85)を用いると \begin{eqnarray} \ket{+}\bra{+} &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{+|+} \\ \braket{-|+} \\ \end{array} \right) \left( \braket{+|+}^*, \braket{-|+}^* \right)&...&\text{式(1.85)、式(1.89)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \left( 1^*, 0^* \right)&...&\text{式(1.60)正規直交性より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \left( 1, 0 \right)& \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&0 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \ket{-}\bra{-} &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{+|-} \\ \braket{-|-} \\ \end{array} \right) \left( \braket{+|-}^*, \braket{-|-}^* \right)&...&\text{式(1.85)、式(1.89)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \left( 0^*, 1^* \right)&...&\text{式(1.60)正規直交性より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \left( 0, 1 \right)& \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&0 \\ 0&1 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \ket{+}\bra{-} &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{+|+} \\ \braket{-|+} \\ \end{array} \right) \left( \braket{+|-}^*, \braket{-|-}^* \right)&...&\text{式(1.85)、式(1.89)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \left( 0^*, 1^* \right)&...&\text{式(1.60)正規直交性より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \left( 0, 1 \right)& \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&1 \\ 0&0 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \ket{-}\bra{+} &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{+|-} \\ \braket{-|-} \\ \end{array} \right) \left( \braket{+|+}^*, \braket{-|+}^* \right)&...&\text{式(1.85)、式(1.89)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \left( 1^*, 0^* \right)&...&\text{式(1.60)正規直交性より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \left( 1, 0 \right)& \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&0 \\ 1&0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} となることから、式(1.90)(1.92)より、 \begin{eqnarray} S_z &=& (\hbar /2)[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\left[ \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&0 \\ \end{array} \right)- \left( \begin{array}{cccc} 0&0 \\ 0&1 \\ \end{array} \right)\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2} \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&-1 \\ \end{array} \right)\\ \\ \\ S_+ &=& \hbar\ket{+}\bra{-} \\ \\ &=& \hbar \left( \begin{array}{cccc} 0&1 \\ 0&0 \\ \end{array} \right)\\ \\ \\ S_- &=& \hbar\ket{-}\bra{+} \\ \\ &=& \hbar \left( \begin{array}{cccc} 0&0 \\ 1&0 \\ \end{array} \right)\\ \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\(\ket{a^{\prime}}\)は\(A\)の固有ケットで、固有値は\(a^{\prime}\)であることを利用する。 \begin{eqnarray} \braket{A} &=& \bra{\alpha}A\ket{\alpha}&...&\text{式(1.98)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\bra{\alpha}A\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.65)の完全関係式を用いた} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\braket{\alpha|a^{\prime\prime}}\bra{a^{\prime\prime}}A\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.65)の完全関係式を用いた} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\braket{\alpha|a^{\prime\prime}}\bra{a^{\prime\prime}}a^{\prime}\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha}&...&\text{固有値、固有ケットの関係より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}a^{\prime}\braket{\alpha|a^{\prime\prime}}\braket{a^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}a^{\prime}\braket{\alpha|a^{\prime\prime}}\delta_{a^{\prime\prime},a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.60)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}a^{\prime}\braket{\alpha|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha}&...&a^{\prime\prime}=a^{\prime}\text{の項の以外}0\text{になることを利用} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}a^{\prime}\braket{a^{\prime}|\alpha}^*\braket{a^{\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.26)より}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}a^{\prime}|\braket{a^{\prime}|\alpha}|^2&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} |\braket{+|S_x;+}| &=& |\frac{1}{\sqrt{2}}\braket{+|+}+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\delta_1}\braket{+|-}| \\ \\ &=& |\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\delta_1}\cdot 0| \\ \\ &=& |\frac{1}{\sqrt{2}}| \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \\ |\braket{-|S_x;+}| &=& |\frac{1}{\sqrt{2}}\braket{-|+}+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\delta_1}\braket{-|-}| \\ \\ &=& |\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\delta_1}\cdot 1| \\ \\ &=& |\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\delta_1}| \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}|e^{i\delta_1}| \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{|e^{i\delta_1}|^2}| \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{e^{i\delta_1}e^{-i\delta_1}}| \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{1}| \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \end{eqnarray} と確認できる。

式(1.102)、式(1.24)より、\(S_x+\)のブラは \begin{eqnarray} \bra{S_x;+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\delta_1}\bra{-} \end{eqnarray} と書けるので \begin{eqnarray} \braket{S_x;+|S_x;-} &=& (\frac{1}{\sqrt{2}}\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\delta_1}\bra{-})(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{+}-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\delta_1}\ket{-}) \\ \\ &=& \frac{1}{2}(\bra{+}+e^{-i\delta_1}\bra{-})(\ket{+}-e^{i\delta_1}\ket{-}) \\ \\ &=& \frac{1}{2}(\braket{+|+}+e^{-i\delta_1}\braket{-|+}-e^{i\delta_1}\braket{+|-}-e^{-i\delta_1}e^{i\delta_1}\braket{-|-}) \\ \\ &=& \frac{1}{2}(1+e^{-i\delta_1}\cdot 0-e^{i\delta_1}\cdot 0-e^{-i\delta_1+i\delta_1}e^{}\cdot 1) \\ \\ &=& \frac{1}{2}(1- 1) \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} となる。また、\(\braket{S_x;-|S_x;+}\)は\(\braket{S_x;+|S_x;-}\)と複素共役の関係にあり、その値は式(1.26)より\(0^*=0\)となることから、これらは直交関係にある。

式(1.21)の議論より、\(S_x\)の固有ケットは\(\ket{S_x;\pm}\)の二つであり、固有値は\(\pm\frac{\hbar}{2}\)である。式(1.88)より \begin{eqnarray} S_x &=& \frac{\hbar}{2}\ket{S_x;+}\bra{S_x;+}-+\left(\frac{\hbar}{2}\right)\ket{S_x;-}\bra{S_x;-} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\left(\ket{S_x;+}\bra{S_x;+}-\ket{S_x;-}\bra{S_x;-}\right) \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\left((\frac{1}{\sqrt{2} }\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2} }e^{i\delta_1}\ket{-})(\frac{1}{\sqrt{2} }\bra{+}+\frac{1}{\sqrt{2} }e^{-i\delta_1}\bra{-})-(\frac{1}{\sqrt{2} }\ket{+}-\frac{1}{\sqrt{2} }e^{i\delta_1}\ket{-})(\frac{1}{\sqrt{2} }\bra{+}-\frac{1}{\sqrt{2} }e^{-i\delta_1}\bra{-})\right) \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{1}{2}\left((\ket{+}+e^{i\delta_1}\ket{-})(\bra{+}+e^{-i\delta_1}\bra{-})-(\ket{+}-e^{i\delta_1}\ket{-})(\bra{+}-e^{-i\delta_1}\bra{-})\right) \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{1}{2}\left(\ket{+}\bra{+}+e^{i\delta_1}\ket{-}\bra{+}+e^{-i\delta_1}\ket{+}\bra{-}+e^{i\delta_1}e^{-i\delta_1}\ket{-}\bra{-}-\ket{+}\bra{+}+e^{i\delta_1}\ket{-}\bra{+}+e^{-i\delta_1}\ket{+}\bra{-}-e^{i\delta_1}e^{-i\delta_1}\ket{-}\bra{-}\right) \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{1}{2}\left(e^{i\delta_1}\ket{-}\bra{+}+e^{-i\delta_1}\ket{+}\bra{-}+\ket{-}\bra{-}+e^{i\delta_1}\ket{-}\bra{+}+e^{-i\delta_1}\ket{+}\bra{-}-\ket{-}\bra{-}\right) \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{1}{2}\left(2e^{i\delta_1}\ket{-}\bra{+}+2e^{-i\delta_1}\ket{+}\bra{-}\right) \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\left(e^{-i\delta_1}\ket{+}\bra{-}+e^{i\delta_1}\ket{-}\bra{+}\right) \\ \\ \end{eqnarray} と導ける。

式(1.24)(1.50)を用いて、 \begin{eqnarray} S_x^{\dagger} &=& \left(\frac{\hbar}{2}\left[e^{-i\delta_1}(\ket{+}\bra{-})+e^{i\delta_1}(\ket{-}\bra{+})\right]\right)^{\dagger} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\left[(e^{-i\delta_1})^*(\ket{+}\bra{-})^{\dagger}+(e^{i\delta_1})^*(\ket{-}\bra{+})^{\dagger}\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\left[e^{i\delta_1}(\ket{-}\bra{+})+e^{-i\delta_1}(\ket{+}\bra{-})\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\left[e^{-i\delta_1}(\ket{+}\bra{-})+e^{i\delta_1}(\ket{-}\bra{+})\right] \\ \\ &=& S_x \\ \\ \end{eqnarray} であることからエルミート的である。

式(1.107)に式(1.103)(1.105)を適用すると \begin{eqnarray} |\braket{S_y;\pm|S_x;+}| &=& |(\frac{1}{\sqrt{2}}\bra{+}\pm\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\delta_2}\bra{-})(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{+}+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\delta_1}\ket{-})| \\ \\ &=& \frac{1}{2}|(\bra{+}\pm e^{-i\delta_2}\bra{-})(\ket{+}+e^{i\delta_1}\ket{-})| \\ \\ &=& \frac{1}{2}|\braket{+|+}\pm e^{-i\delta_2}e^{i\delta_1}\braket{-|-}|&...&\text{直交性より}\braket{+|+},\braket{-|-}\text{以外は}0 \\ \\ &=& \frac{1}{2}|\pm e^{i(\delta_1-\delta_2)}|&...&\text{正規性より}\braket{+|+}=1,\braket{-|-}=1 \\ \\ \\ |\braket{S_y;\pm|S_x;-}| &=& |(\frac{1}{\sqrt{2}}\bra{+}\pm\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\delta_2}\bra{-})(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{+}-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\delta_1}\ket{-})| \\ \\ &=& \frac{1}{2}|(\bra{+}\pm e^{-i\delta_2}\bra{-})(\ket{+}-e^{i\delta_1}\ket{-})| \\ \\ &=& \frac{1}{2}|\braket{+|+}\mp e^{-i\delta_2}e^{i\delta_1}\braket{-|-}|&...&\text{直交性より}\braket{+|+},\braket{-|-}\text{以外は}0 \\ \\ &=& \frac{1}{2}|1\mp e^{i(\delta_1-\delta_2)}|&...&\text{正規性より}\braket{+|+}=1,\braket{-|-}=1 \\ \\ \\ \end{eqnarray} であることから式(1.108)が得られる。

式(1.108)より \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}|1\pm e^{-i\delta_2}e^{i\delta_1}| &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{1}{2}\sqrt{|1\pm e^{i(\delta_1-\delta_2)}|^2} &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{1}{2}\sqrt{(1\pm e^{i(\delta_1-\delta_2)})(1\pm e^{-i(\delta_1-\delta_2)}) } &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{1}{2}\sqrt{1+e^{i(\delta_1-\delta_2)}e^{-i(\delta_1-\delta_2)}\pm (e^{i(\delta_1-\delta_2)}+ e^{-i(\delta_1-\delta_2)}) } &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{1}{2}\sqrt{1+1\pm 2\cos(\delta_1-\delta_2) } &=& \frac{1}{\sqrt{2}}&...&\text{オイラーの定理より}2\cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta} \\ \\ &\Leftrightarrow&\sqrt{2\pm 2\cos(\delta_1-\delta_2) } &=& \sqrt{2}& \\ \\ &\Rightarrow&2\pm 2\cos(\delta_1-\delta_2) &=& 2&...&\text{両辺を二乗した} \\ \\ &\Leftrightarrow&\pm \cos(\delta_1-\delta_2) &=& 0& \\ \\ &\Leftrightarrow&\cos(\delta_1-\delta_2) &=& 0& \\ \\ &\therefore& \delta_1-\delta_2=\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray} であることから式(1.108)が得られる。

p.32下部より、\(\delta_1=0\)であり、p.33上部より\(\delta_2=\frac{\pi}{2}\)である。これらを式(1.102)~(1.106)に代入することで得られる。

\begin{eqnarray} S_{\pm}^{\dagger} &=& (S_x\pm iS_y)^{\dagger} \\ \\ &=& S_x^{\dagger}\pm(iS_y)^{\dagger} \\ \\ &=& S_x\pm(i^*S_y^{\dagger})&...&\text{p.32上部より}S_x\text{はエルミート的であるため} \\ \\ &=& S_x\pm(-iS_y)&...&\text{p.32上部より}S_x\text{がエルミート的であることと同様に}S_y\text{もエルミート的であるため} \\ \\ &=& S_x\mp iS_y& \\ \\ &\neq& S_{\pm} \end{eqnarray} より、非エルミート的である。

式(1.90)(1.111)と式(1.115a)の計算規則を用いる。\((x,y,z)=(1,2,3)\)とする。\(S_1,S_2\)について計算すると \begin{eqnarray} S_1S_2\pm S_2S_1 &=& S_xS_y\pm S_yS_x \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{-}+\ket{-}\bra{+}]\frac{\hbar}{2}[-i\ket{+}\bra{-}+i\ket{-}\bra{+}]\pm\frac{\hbar}{2}[-i\ket{+}\bra{-}+i\ket{-}\bra{+}]\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{-}+\ket{-}\bra{+}] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{-}(i\ket{-}\bra{+})+\ket{-}\bra{+}( -i\ket{+}\bra{-} )]\pm\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[-i\ket{+}\bra{-}\ket{-}\bra{+}+i\ket{-}\bra{+}\ket{+}\bra{-}]&...&\text{直交性を用いて}\braket{+|+},\braket{-|-}\text{以外}0\text{とした。} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}i[\ket{+}\braket{-|-}\bra{+}-\ket{-}\braket{+|+}\bra{-}]\mp\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}i[\ket{+}\braket{-|-}\bra{+}-\ket{-}\braket{+|+}\bra{-}]&\\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}i[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}]\mp\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}i[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}]&...&\braket{+|+}=1,\braket{-|-}=1\text{を利用。}\\ \\ &=& \begin{cases} 0 & (\{S_x,S_y\}) \\ i\hbar\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}] & ( [S_x,S_y] ) \end{cases} &...\text{複号同順}\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 & =\{S_1,S_2\} \\ i\hbar S_z & = [S_x,S_y] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 & = \{S_1,S_2\} \\ i\varepsilon_{123}\hbar S_3 & = [S_1,S_2] \end{cases} \\ \\ \\ S_2S_1\pm S_1S_2 &=& S_yS_x\pm S_xS_y \\ \\ &=& \begin{cases} S_xS_y+S_yS_x & \\ -(S_xS_y-S_yS_x) & \end{cases} &...\text{複号同順}\\ \\ &=& \begin{cases} \{S_x,S_y\} & \\ -[S_x,S_y] & \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0&=\{S_y,S_x\} \\ -i\hbar S_z & =[S_y,S_x] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0&=\{S_2,S_1\} \\ i\hbar\varepsilon_{213}S_3 & =[S_2,S_1] \end{cases} \end{eqnarray} 次に\(S_1,S_3\)について計算する。 \begin{eqnarray} S_1S_3\pm S_3S_1 &=& S_xS_z\pm S_xS_z \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{-}+\ket{-}\bra{+}]\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}]\pm\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}]\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{-}+\ket{-}\bra{+}] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{-}(-\ket{-}\bra{-})+\ket{-}\bra{+}\ket{+}\bra{+}]\pm\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{+}\ket{+}\bra{-}-\ket{-}\bra{-}\ket{-}\bra{+}]&...&\text{直交性を用いて}\braket{+|+},\braket{-|-}\text{以外}0\text{とした。} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[-\ket{+}\braket{-|-}\bra{-}+\ket{-}\braket{+|+}\bra{+}]\pm\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\braket{+|+}\bra{-}-\ket{-}\braket{-|-}\bra{+}]& \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[-\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}]\pm\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{-}-\ketbra{-}{+}]&...&\braket{+|+}=1,\braket{-|-}=1\text{を利用。} \\ \\ &=& \begin{cases} 0 & (\{S_x,S_z\}) \\ \hbar\frac{\hbar}{2}[-\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}] & ( [S_x,S_z] ) \end{cases} &...\text{複号同順}\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 & =\{S_x,S_z\} \\ \hbar\frac{\hbar}{2}i[i\ketbra{+}{-}-i\ketbra{-}{+}] & = [S_x,S_z] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 &= \{S_1,S_3\} \\ -\hbar\frac{\hbar}{2}i[-i\ketbra{+}{-}+i\ketbra{-}{+}] & = [S_x,S_z] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 & =\{S_1,S_3\} \\ -i\hbar S_y & = [S_x,S_z] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 & =\{S_1,S_3\} \\ i\hbar\varepsilon_{132} S_2& = [S_1,S_3] \end{cases} \\ \\ \\ S_3S_1\pm S_1S_3 &=& S_zS_x\pm S_xS_z \\ \\ &=& \begin{cases} S_xS_z+S_zS_x & \\ -(S_xS_z-S_zS_x) & \end{cases} &...\text{複号同順}\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 &=\{S_z,S_x\} \\ -[S_x,S_z] &=[S_z,S_x] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 &=\{S_3,S_1\} \\ -(-i\hbar S_y) &=[S_z,S_x] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 &=\{S_3,S_1\} \\ i\hbar S_y &=[S_z,S_x] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 &=\{S_3,S_1\} \\ i\hbar\varepsilon_{312}S_2 &=[S_3,S_1] \end{cases} \end{eqnarray} が得られる。\(S_2,S_3\)について計算すると \begin{eqnarray} S_2S_3\pm S_3S_2 &=& S_yS_z\pm S_zS_y \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}[-i\ketbra{+}{-}+i\ketbra{-}{+}]\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}]\pm\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{+}-\ket{-}\bra{-}]\frac{\hbar}{2}[-i\ketbra{+}{-}+i\ketbra{-}{+}] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[-i\ketbra{+}{-}(-\ket{-}\bra{-})+i\ketbra{-}{+}\ket{+}\bra{+}]\pm\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ket{+}\bra{+}(-i\ketbra{+}{-})-\ket{-}\bra{-}(i\ketbra{-}{+})]&...&\text{直交性を用いて}\braket{+|+},\braket{-|-}\text{以外}0\text{とした。} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[i\ket{+}\braket{-|-}\bra{-}+i\ket{-}\braket{+|+}\bra{+}]\mp\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[i\ket{+}\braket{+|+}\bra{-}+i\ket{-}\braket{-|-}\bra{+}]& \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[i\ketbra{+}{-}+i\ketbra{-}{+}]\mp\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[i\ketbra{+}{-}+i\ketbra{-}{+}]&...&\braket{+|+}=1,\braket{-|-}=1\text{を利用。} \\ \\ &=& \begin{cases} 0 &(\{S_y,S_z\}) \\ i\hbar\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}] &([S_y,S_z]) \end{cases} &...\text{複号同順}\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 &=\{S_y,S_z\} \\ i\hbar S_x &=[S_y,S_z] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0 &=\{S_2,S_3\} \\ i\hbar \varepsilon_{231}S_1 &=[S_2,S_3] \end{cases} \\ \\ \\ S_3S_2\pm S_2S_3 &=& S_zS_y\pm S_yS_z \\ \\ &=& \begin{cases} S_yS_z+S_zS_y & \\ -(S_yS_z-S_zS_y) & \end{cases} &...\text{複号同順}\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0&=\{S_z,S_y\} \\ -i\hbar S_x &=[S_z,S_y] \end{cases} &\\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} 0&=\{S_3,S_2\} \\ i\hbar \varepsilon_{321}S_1 &=[S_3,S_2] \end{cases} \end{eqnarray} が得られる。
\([S_i,S_i]\)については\(S_iS_i-S_iS_i=0\)となるため、\(S_iS_i+S_iS_i\)を考える。 \begin{eqnarray} \{S_1,S_1\} &=& S_xS_x+S_xS_x \\ \\ &=& 2S_xS_x \\ \\ &=& 2\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}]\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}] \\ \\ &=& 2\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{-}\ketbra{-}{+}+\ketbra{-}{+}\ketbra{+}{-}]&...&\text{直交性を用いた} \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}[\ketbra{+}{+}+\ketbra{-}{-}]& \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}&...&\text{式(1.89)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}\delta_{11}\\ \\ \\ \{S_2,S_2\} &=& S_yS_y+S_yS_y \\ \\ &=& 2S_yS_y \\ \\ &=& 2\frac{\hbar}{2}[-i\ketbra{+}{-}+i\ketbra{-}{+}]\frac{\hbar}{2}[-i\ketbra{+}{-}+i\ketbra{-}{+}] \\ \\ &=& 2\frac{\hbar}{2}i^2[-\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}]\frac{\hbar}{2}[-\ketbra{+}{-}+\ketbra{-}{+}] \\ \\ &=& 2\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}i^2[-\ketbra{+}{-}\ketbra{-}{+}+\ketbra{-}{+}(-\ketbra{+}{-})]&...&\text{直交性を用いた} \\ \\ &=& 2\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{-}\ketbra{-}{+}+\ketbra{-}{+}\ketbra{+}{-}]& \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}[\ketbra{+}{+}+\ketbra{-}{-}]& \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}&...&\text{式(1.89)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}\delta_{22}\\ \\ \\ \{S_3,S_3\} &=& S_zS_z+S_zS_z \\ \\ &=& 2S_zS_z \\ \\ &=& 2\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{+}-\ketbra{-}{-}]\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{+}-\ketbra{-}{-}] \\ \\ &=& 2\frac{\hbar}{2}\frac{\hbar}{2}[\ketbra{+}{+}\ketbra{+}{+}-\ketbra{-}{-}(-\ketbra{-}{-})]&...&\text{直交性を用いた} \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}[\ketbra{+}{+}+\ketbra{-}{-}]& \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}&...&\text{式(1.89)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}\delta_{33}\\ \\ \\ \end{eqnarray} 以上より、式(1.113)(1.114)が確認できた。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{S}^2 &=& S_x^2+S_y^2+S_z^2 \\ \\ &=& \frac{1}{2}(S_xS_x+S_xS_x)+\frac{1}{2}(S_yS_y+S_yS_y)+\frac{1}{2}(S_zS_z+S_zS_z) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\{S_x,S_x\}+\frac{1}{2}\{S_y,S_y\}+\frac{1}{2}\{S_z,S_z\} \\ \\ &=& \frac{1}{2}\frac{\hbar^2}{2}\delta_{xx}+\frac{1}{2}\frac{\hbar^2}{2}\delta_{yy}+\frac{1}{2}\frac{\hbar^2}{2}\delta_{zz} \\ \\ &=& \frac{3\hbar^2}{4}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(1.117)より、\(\boldsymbol{S}^2\)は定数なので \begin{eqnarray} \boldsymbol{S}^2S_i=S_i\boldsymbol{S}^2 \end{eqnarray} と交換法則が成り立つことから式(1.118)が満たされる。

\begin{eqnarray} \bra{a^{\prime\prime}}[A,B]\ket{a^{\prime}} &=& \bra{a^{\prime\prime}}(AB-BA)\ket{a^{\prime}} \\ \\ &=& \bra{a^{\prime\prime}}AB\ket{a^{\prime}}-\bra{a^{\prime\prime}}BA\ket{a^{\prime}} \\ \\ &=& (\bra{a^{\prime\prime}}A)B\ket{a^{\prime}}-\bra{a^{\prime\prime}}B(A\ket{a^{\prime}}) \\ \\ &=& (\bra{a^{\prime\prime}}A)B\ket{a^{\prime}}-\bra{a^{\prime\prime}}Ba^{\prime}\ket{a^{\prime}}&...&\text{固有ケットであるため} \\ \\ &=& (\bra{a^{\prime\prime}}A^{\dagger})B\ket{a^{\prime}}-a^{\prime}\bra{a^{\prime\prime}}B\ket{a^{\prime}}&...&\text{p.20,21より}A\text{は可観測量で、エルミート的であるため} \\ \\ &=& (\bra{a^{\prime\prime}}a^{\prime\prime *})B\ket{a^{\prime}}-a^{\prime}\bra{a^{\prime\prime}}B\ket{a^{\prime}}&...&\text{式(1.56)より}\\ \\ &=& (\bra{a^{\prime\prime}}a^{\prime\prime})B\ket{a^{\prime}}-a^{\prime}\bra{a^{\prime\prime}}B\ket{a^{\prime}}&...&\text{式(1.58)より}\\ \\ &=& a^{\prime\prime}\bra{a^{\prime\prime}}B\ket{a^{\prime}}-a^{\prime}\bra{a^{\prime\prime}}B\ket{a^{\prime}}&\\ \\ &=& (a^{\prime\prime}-a^{\prime})\bra{a^{\prime\prime}}B\ket{a^{\prime}}&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} B &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}}B \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime}}\ketbra{a^{\prime}}{a^{\prime}}B\ketbra{a^{\prime\prime}}{a^{\prime\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\sum_{a^{\prime\prime} }\ket{a^{\prime} }\delta_{a^{\prime\prime}a^{\prime} }\bra{a^{\prime\prime}}B\ketbra{a^{\prime\prime}}{a^{\prime\prime}}&...&\text{式(1.122)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime\prime} }\ket{a^{\prime\prime} }\bra{a^{\prime\prime} }B\ketbra{a^{\prime\prime} }{a^{\prime\prime} }&...&\text{クロネッカーのデルタより、}a^{\prime}=a^{\prime\prime} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} B\ket{a^{\prime}} &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime\prime} }\ket{a^{\prime\prime} }\bra{a^{\prime\prime} }B\ketbra{a^{\prime\prime} }{a^{\prime\prime} }\ket{a^{\prime}}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime\prime} }\ket{a^{\prime\prime} }\bra{a^{\prime\prime} }B\ket{a^{\prime\prime} }\braket{a^{\prime\prime} |a^{\prime}}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime\prime} }\ket{a^{\prime\prime} }\bra{a^{\prime\prime} }B\ket{a^{\prime\prime} }\delta_{a^{\prime\prime}a^{\prime}}& \\ \\ &=& \ket{a^{\prime} }\bra{a^{\prime} }B\ket{a^{\prime} }&...&\text{クロネッカーのデルタより}a^{\prime\prime}=a^{\prime}\text{の項のみ残る} \\ \\ &=& \bra{a^{\prime} }B\ket{a^{\prime} }\ket{a^{\prime} }&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(1.124)(1.125)より、\(a^{\prime}\)についての情報しか分からなくても\(b^{\prime}\)を求めることができていることがわかる。

\([A,B]=0\)のとき
観測されるケットは \begin{eqnarray} \ket{a^{\prime}}\overset{B}{\longrightarrow}\ket{b^{\prime}}\overset{C}{\longrightarrow}\ket{c^{\prime}} \end{eqnarray} と変遷し、観測される確率は、一つ目の観測(矢印)では\(|\braket{a^{\prime}|b^{\prime}}|^2\)、二つ目の矢印では\(|\braket{b^{\prime}|c^{\prime}}|^2\)である。\(A\)と\(B\)が両立できる観測可能量であるとき、p.34からの議論より、\(\ket{a^{\prime}}\)および\(\ket{b^{\prime}}\)は\(A\)と\(B\)の同時固有ケットであり、\(\ket{a^{\prime},b^{\prime}}\)と記述できることがわかる。
そのため、観測確率は一つ目の矢印では\(|\braket{a^{\prime},b^{\prime}|a^{\prime},b^{\prime}}|^2=1\)となり、二つ目の矢印では\(|\braket{a^{\prime},b^{\prime}|c^{\prime}}|^2\)と書ける。
最後に、\(\ket{a^{\prime},b^{\prime}}\)を代表して\(\ket{a^{\prime}}\)と置き換えることで、\(\ket{c^{\prime} }\)を得る確率は \begin{eqnarray} |\braket{a^{\prime}|b^{\prime}}|^2|\braket{b^{\prime}|c^{\prime}}|^2 &=& |\braket{a^{\prime},b^{\prime}|a^{\prime},b^{\prime}}|^2|\braket{a^{\prime},b^{\prime}|c^{\prime}}|^2 \\ \\ &=& 1\cdot|\braket{a^{\prime},b^{\prime}|c^{\prime}}|^2 \\ \\ &=& |\braket{a^{\prime}|c^{\prime}}|^2 \\ \\ &=& |\braket{c^{\prime}|a^{\prime}}|^2 \\ \\ \end{eqnarray} となり、これは式(1.140)と等しくなることから、\([A,B]=0\)の時、式(1.139)と(1.140)の表式が一致することがわかる。

\([B,C]=0\)のとき
上記の議論において、\(B\)と\(C\)が両立可能な可観測量であるため、\(\ket{b^{\prime}}\)と\(\ket{c^{\prime}}\)は\(\ket{b^{\prime},c^{\prime}}\)と書くことができる。これを用いると、\(\ket{c^{\prime}}\)を得られる確率は \begin{eqnarray} |\braket{a^{\prime}|b^{\prime}}|^2|\braket{b^{\prime}|c^{\prime}}|^2 &=& |\braket{a^{\prime}|b^{\prime},c^{\prime}}|^2|\braket{b^{\prime},c^{\prime}|b^{\prime},c^{\prime}}|^2 \\ \\ &=& |\braket{a^{\prime}|b^{\prime},c^{\prime}}|^2 \\ \\ &=& |\braket{a^{\prime}|c^{\prime}}|^2& \\ \\ &=& |\braket{c^{\prime}|a^{\prime}}|^2& \\ \\ \end{eqnarray} と書くことができ、これは式(1.140)と等しいため、この条件下で式(1.139)と(1.140)の表式は等しくなる。

期待値を求めるために式(1.99)を用いる。式(1.21)より\(S_x\)は\(\pm\frac{\hbar}{2}\)の値をとり、式(1.110a)より\(\braket{\pm|S_x;\pm}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)である。そのため、 \begin{eqnarray} \braket{S_x^2}-\braket{S_x}^2 &=& \left\{\left(+\frac{\hbar}{2}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\frac{\hbar}{2}\right)^2\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right\}-\left\{\left(+\frac{\hbar}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\frac{\hbar}{2}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right\}^2 \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{8}+\frac{\hbar^2}{8}-0^2 \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4} \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

式(1.149)に\(\lambda=-\braket{\beta|\alpha}/\braket{\beta|\beta}\)を代入する。 \begin{eqnarray} (\ket{\alpha}+\lambda^*\ket{\beta})(\bra{\alpha}+\lambda\bra{\beta}) &=& \braket{\alpha|\alpha}+\lambda^*\lambda\braket{\beta|\beta}+\lambda\braket{\beta|\alpha}+\lambda^*\braket{\alpha|\beta}& \\ \\ &=& \braket{\alpha|\alpha}+\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha}}{\braket{\beta|\beta} }\right)^*\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha} }{\braket{\beta|\beta} }\right)\braket{\beta|\beta}+\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha}}{\braket{\beta|\beta} }\right)^*\braket{\beta|\alpha}+\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha} }{\braket{\beta|\beta} }\right)\braket{\alpha|\beta}& \\ \\ &=& \braket{\alpha|\alpha}+\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha}^*}{\braket{\beta|\beta} }\right)\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha} }{\braket{\beta|\beta} }\right)\braket{\beta|\beta}+\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha}^*}{\braket{\beta|\beta} }\right)\braket{\beta|\alpha}+\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha} }{\braket{\beta|\beta} }\right)\braket{\alpha|\beta}&...&\text{式(1.27)上より}\braket{\beta|\beta}\text{は実数なので}\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha}}{\braket{\beta|\beta} }\right)^*=\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha}^*}{\braket{\beta|\beta} }\right) \\ \\ &=& \braket{\alpha|\alpha}+\left(-\frac{\braket{\alpha|\beta} }{\braket{\beta|\beta} }\right)\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha} }{\braket{\beta|\beta} }\right)\braket{\beta|\beta}+\left(-\frac{\braket{\alpha|\beta} }{\braket{\beta|\beta} }\right)\braket{\beta|\alpha}+\left(-\frac{\braket{\beta|\alpha} }{\braket{\beta|\beta} }\right)\braket{\alpha|\beta}&...&\text{式(1.26)より}\braket{\beta|\alpha}^*=\braket{\alpha|\beta} \\ \\ &=& \braket{\alpha|\alpha}+\frac{\braket{\alpha|\beta} }{\braket{\beta|\beta} }\frac{\braket{\beta|\alpha} }{\braket{\beta|\beta} }\braket{\beta|\beta}-\frac{\braket{\alpha|\beta} }{\braket{\beta|\beta} }\braket{\beta|\alpha}-\frac{\braket{\beta|\alpha} }{\braket{\beta|\beta} }\braket{\alpha|\beta}& \\ \\ &=& \braket{\alpha|\alpha}+\frac{|\braket{\alpha|\beta}|^2 }{\braket{\beta|\beta} }-\frac{|\braket{\alpha|\beta}|^2 }{\braket{\beta|\beta} }-\frac{|\braket{\alpha|\beta}|^2 }{\braket{\beta|\beta} }&...&\braket{\alpha|\beta}\braket{\beta|\alpha}=|\braket{\alpha|\beta}|^2 \\ \\ &=& \braket{\alpha|\alpha}-\frac{|\braket{\alpha|\beta}|^2 }{\braket{\beta|\beta} } \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{\alpha|\alpha}\braket{\beta|\beta}-|\braket{\alpha|\beta}|^2\geq 0&...&\text{式(1.27)上より}\braket{\beta|\beta}\geq 0\text{なので不等式の大小関係は変化しない} \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

式(1.75)を用いる。式(1.98)より期待値を求めるときにはブラとケットで同じ状態を用いるため \begin{eqnarray} \bra{a^{\prime}}B\ket{a^{\prime}}=\bra{a^{\prime}}B\ket{a^{\prime}}^* \end{eqnarray} となる。これを満たすためには\(\bra{a^{\prime}}B\ket{a^{\prime}}\)が実数になる必要があるため、補題2が示される。

p.42脚注を利用する。脚注は \begin{eqnarray} (iC)^{\dagger} &=& i^*C^{\dagger} \\ \\ &=& -iC^{\dagger} \\ \\ &=& i(-C^{\dagger}) \\ \\ &=& iC \\ \\ \end{eqnarray} となることから、\(iC\)はエルミート演算子であることが示される。p.42補題2より\(iC\)の期待値が実数であるため、これを\(k\)とすると \begin{eqnarray} \bra{a^{\prime}}iC\ket{a^{\prime}} &=& k \\ \\ \Leftrightarrow \bra{a^{\prime}}C\ket{a^{\prime}} &=& -ik \end{eqnarray} となる。ここで\(k\)が実数であることから補題3が示された。

\begin{eqnarray} \{\Delta A,\Delta B\}^{\dagger} &=& (\Delta A\Delta B+\Delta B\Delta A)^{\dagger} \\ \\ &=& (\Delta A\Delta B)^{\dagger}+(\Delta B\Delta A)^{\dagger} \\ \\ &=& (\Delta B^{\dagger}\Delta A^{\dagger})+(\Delta A^{\dagger}\Delta B^{\dagger})&...&\text{式(1.44)より} \\ \\ &=& (\Delta B\Delta A)+(\Delta A\Delta B)&...&\text{p.42中段より}\Delta A,\Delta B\text{はエルミート的であるため} \\ \\ &=& (\Delta A\Delta B)+(\Delta B\Delta A)&\\ \\ &=& \{\Delta A,\Delta B\}&\\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} |\braket{\Delta A\Delta B}|^2 &=& |\braket{\Delta A\Delta B}|^*|\braket{\Delta A\Delta B}| \\ \\ &=& |\frac{1}{2}\braket{[A,B]}+\frac{1}{2}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}|^*|\frac{1}{2}\braket{[A,B]}+\frac{1}{2}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}| \\ \\ &=& |\frac{1}{2}\braket{[A,B]}^*+\frac{1}{2}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}^*||\frac{1}{2}\braket{[A,B]}+\frac{1}{2}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}| \\ \\ &=& |\frac{1}{2}\braket{[A,B]}-\frac{1}{2}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}||\frac{1}{2}\braket{[A,B]}+\frac{1}{2}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}|&...&\text{式(1.154)と}\{\Delta A,\Delta B\}\text{がエルミート的であることから} \\ \\ &=& \frac{1}{4}\braket{[A,B]}\braket{[A,B]}-\frac{1}{4}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}& \\ \\ &=& \frac{1}{4}\braket{[A,B]}\braket{[A,B]}^*+\frac{1}{4}\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}^*\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}&...&\text{式(1.154)と}\{\Delta A,\Delta B\}\text{がエルミート的であることから} \\ \\ &=& \frac{1}{4}|\braket{[A,B]}|^2+\frac{1}{4}|\braket{\{\Delta A,\Delta B\}}|^2 \\ \\ \end{eqnarray} となる。