古典力学の行間埋め 第１章
1.1 質点の力学
- 式(1.11)の導出
- 式(1.13)の上の式の計算
- 式(1.20)の導出
- 式(1.22)の導出
- 式(1.28)の導出
- 式(1.29)下の式の式変形の説明
- 式(1.31)の導出
- 式(1.35)の導出:式(1.29)からの式変形
- 式(1.39)の導出
- 式(1.50)の導出
- 式(1.51)上式の導出(要：議論)
- 式(1.51)の導出
- 式(1.52)の上の式の導出
- 式(1.58)を仮定したときの式(1.59)の導出
- 式(1.64)の導出
ベクトル解析の公式より、
\begin{align*}
\texrbf{v}\times\texrbf{v}=0
\end{align*}
となることから導出できる。参考
\begin{align*}
\frac{d\textbf{v}}{dt}\cdot\textbf{v}
&=
\frac{dv_x}{dt}v_x+\frac{dv_y}{dt}v_y+\frac{dv_z}{dt}v_z \\ \\
&=
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}v_x^2+\frac{1}{2}\frac{d}{dt}v_y^2+\frac{1}{2}\frac{d}{dt}v_z^2 \\ \\
&=
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}v^2 \\ \\
\end{align*}
となることから導出できる。
式(1.1)(1.2)を用いると、質量\(m\)が時間変化しないとすると
\begin{align*}
\dot{\textbf{p}}
&=
\frac{d}{dt}\textbf{p}
&=
\frac{d}{dt}(m\textbf{v}) \\ \\
&=
\frac{d}{dt}\left(m\frac{d}{dt}textbf{r}\right) \\ \\
&=
\frac{d^2}{dt^2}\left(m\textbf{r}\right) \\ \\
\end{align*}
が得られる。これを用いると
\begin{align*}
&&
\displaystyle\sum_i\left(\displaystyle\sum_j\textbf{F}_{ji}+\textbf{F}_i^{(e)}\right)
&=
\displaystyle\sum_i\textbf{p}_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{j,i}\textbf{F}_{ji}+\displaystyle\sum_i\textbf{F}_i^{(e)}
&=
\displaystyle\sum_i\frac{d^2}{dt^2}\left(m_i\textbf{r}_i\right) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{\substack{j,i \\i\neq j}}\textbf{F}_{ij}+\displaystyle\sum_i\textbf{F}_i^{(e)}
&=
\displaystyle\sum_i\frac{d^2}{dt^2}\left(m_i\textbf{r}_i\right)&&...\textbf{F}_{ii}=0\text{より} \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
\(\textbf{F}_{ij}+\textbf{F}_{ji}=0\)なので、
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{\substack{i,j\\ i\neq j}}\textbf{F}_{ji}
&=
0
\end{align*}
が得られる。これを用いると
\begin{align*}
\text{式(1.20)左辺}&=
\frac{d^2}{dt^2}\displaystyle\sum_im_i\textbf{r}_i \\ \\
&=
\frac{d^2}{dt^2}\displaystyle\sum_i\frac{m_i\textbf{r}_i}{\displaystyle\sum_km_k}\displaystyle\sum_km_k \\ \\
&=
\frac{d^2}{dt^2}\displaystyle\sum_i\frac{m_i\textbf{r}_i}{M}M& \\ \\
&=
\frac{d^2}{dt^2}\displaystyle\sum_i\textbf{R}M&&...\text{式(1.21)より}
\end{align*}
となるため右辺と比較すると
\begin{align*}
\displaystyle\sum_i\textbf{F}_i^((e))
&=
\frac{d^2}{dt^2}\displaystyle\sum_i\textbf{R}M&&...\text{式(1.21)より}
\end{align*}
が得られる。
p.10の角運動量\(\textbf{L}\)を式変形する。
\begin{align*}
\textbf{L}
&=
\displaystyle\sum_i\textbf{r}_i\times\textbf{p}_i \\ \\
&=
\displaystyle\sum_i\underbrace{(\textbf{r}_i^{\prime}+\textbf{R})}_{\text{式(1.27)}}\times m_i\textbf{v}_i \\ \\
&=
\displaystyle\sum_i(\textbf{r}_i^{\prime}+\textbf{R})\times m_i\underbrace{(\textbf{v}_i^{\prime}+\textbf{v})}_{\text{p.10下より}} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_i\textbf{R}\times m_i\textbf{v}+\displaystyle\sum_i\textbf{r}_i^{\prime}\times m_i\textbf{v}_i^{\prime}+\displaystyle\sum_i\textbf{r}_i^{\prime}\times m_i\textbf{v}+\displaystyle\sum_i\textbf{R}\times m_i\textbf{v}_i^{\prime} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_i\textbf{R}\times m_i\textbf{v}+\displaystyle\sum_i\textbf{r}_i^{\prime}\times m_i\textbf{v}_i^{\prime}+\left(\displaystyle\sum_i m_i\textbf{r}_i^{\prime}\right)\times\textbf{v}+\textbf{R}\times\displaystyle\sum_i m_i\textbf{v}_i^{\prime}&&...i\text{に依存しない}\textbf{v},\textbf{R}\text{を総和の外に出した} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_i\textbf{R}\times m_i\textbf{v}+\displaystyle\sum_i\textbf{r}_i^{\prime}\times m_i\textbf{v}_i^{\prime}+\left(\displaystyle\sum_i m_i\textbf{r}_i^{\prime}\right)\times\textbf{v}+\textbf{R}\times\frac{d}{dt}\displaystyle\sum_im_i\textbf{r}_i^{\prime}&&...\text{p.11上の式より} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_i\textbf{R}\times m_i\textbf{v}+\displaystyle\sum_i\textbf{r}_i^{\prime}\times m_i\textbf{v}_i^{\prime}+0+0&&...\text{式(1.28)上の説明より} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_i\textbf{R}\times m_i\textbf{v}+\displaystyle\sum_i\textbf{r}_i^{\prime}\times \textbf{p}_i^{\prime}& \\ \\
\end{align*}
が得られる。
特に二つ目のイコールについては
\begin{align*}
\int_1^2m_i\dot{\textbf{v}}_i\cdot\textbf{v}_idt
&=
\int_1^2m_i\textbf{v}_i\cdot\dot{\textbf{v}}_idt \\ \\
&=
\int_1^2m_i\textbf{v}_i\cdot\left(\frac{d}{dt}\textbf{v}_i\right)dt \\ \\
&=
\int_1^2\frac{d}{dt}\left(\frac12m_iv_i^2\right)dt&&...v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2\text{とした} \\ \\
&=
\int_1^2d\left(\frac12m_iv_i^2\right)&&...\text{積分して}\frac12m_iv_i^2\text{となる関数として}d\left(\frac12m_iv_i^2\right)\text{とした}
\end{align*}
と変形できる。
式(1.31)上の式を変形する。
\begin{align*}
T
&=
\frac12\displaystyle\sum_im_i\textbf{v}_i\cdot\textbf{v}_i \\ \\
&=
\frac12\displaystyle\sum_im_i(\textbf{v}+\textbf{v}_i^{\prime})\cdot(\textbf{v}+\textbf{v}_i^{\prime}) \\ \\
&=
\frac12\displaystyle\sum_im_i\textbf{v}^2+ \frac12\displaystyle\sum_im_i\textbf{v}_i^{\prime}^2+\displaystyle\sum_i\textbf{v}\cdot\textbf{v}_i^{\prime} \\ \\
&=
\frac12\displaystyle\sum_im_iv^2+ \frac12\displaystyle\sum_im_iv_i^{\prime}^2+\textbf{v}\cdot\left(\displaystyle\sum_i\textbf{v}_i^{\prime}\right) \\ \\
&=
\frac12\displaystyle\sum_im_iv^2+ \frac12\displaystyle\sum_im_iv_i^{\prime}^2+\textbf{v}\cdot\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\sum_i\textbf{r}_i^{\prime}\right) \\ \\
&=
\frac12\underbrace{M}_{(1)}v^2+ \frac12\displaystyle\sum_im_iv_i^{\prime}^2+\underbrace{0}_{(2)}&&...\text{(1)式(1.21)など質量の総和より(2)式(1.31)上より} \\ \\
\end{align*}
と変形できる。
式(1.29)右辺第二項を式変形する。
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\int_1^2\textbf{F}_{ji}\cdot d\textbf{s}_i
&=
\frac12\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\left[\int_1^2\textbf{F}_{ji}\cdot d\textbf{s}_i+\int_1^2\textbf{F}_{ij}\cdot d\textbf{s}_j\right] \\ \\
&=
\frac12\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\left[-\int_1^2\nabla_iV_{ij}\cdot d\textbf{s}_i-\int_1^2\nabla_jV_{ij}\cdot d\textbf{s}_j\right]&&...\text{式(1.33)より、力が保存力であるとき} \\ \\
&=
\frac12\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\left[-\int_1^2\nabla_{ij}V_{ij}\cdot d\textbf{s}_i+\int_1^2\nabla_{ij}V_{ij}\cdot d\textbf{s}_j\right]&&...\text{p.14上より} \\ \\
&=
\frac12\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\left[-\int_1^2\nabla_{ij}V_{ij}\cdot d\textbf{s}_i+\nabla_{ij}V_{ij}\cdot d\textbf{s}_j\right]& \\ \\
&=
-\frac12\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\left[\int_1^2\nabla_{ij}V_{ij}\cdot d\textbf{s}_i-\nabla_{ij}V_{ij}\cdot d\textbf{s}_j\right]& \\ \\
&=
-\frac12\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\int_1^2\nabla_{ij}V_{ij}\cdot (d\textbf{s}_i-d\textbf{s}_j)& \\ \\
&=
-\frac12\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\int_1^2\nabla_{ij}V_{ij}\cdot d\textbf{r}_{ij}&&...\text{p.14上の説明より} \\ \\
&=
-\frac12\displaystyle\sum_{\substack{i,j \\i\neq j}}\left[V_{ij}\right]_1^2&&...\text{(1)} \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
(1)では、微分した関数を積分しているため、\(V_{ij}\)がそのまま原始関数になることを用いた。
(1)では、微分した関数を積分しているため、\(V_{ij}\)がそのまま原始関数になることを用いた。
式(1.39)上の式より
\begin{align*}
&&
\dot{x}-v\sin\theta&=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{dx}{dt}-a\frac{d\phi}{dt}\sin\theta&=0&&...\dot{\phi}=\frac{d\phi}{dt} \\ \\
&\Rightarrow&
dx-a\sin\theta d\phi&=0&&...dt\text{をかけて微分形式に変換}\\ \\
\end{align*}
と導出できる。もう一つの式も同様に導出できる。
関数の積の微分より
\begin{align*}
&&
\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}\right)
&=
m_i\ddot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}+m_i\dot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{d}{dt}\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j} \\ \\
&\Leftrightarrow&
m_i\ddot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}
&=
\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}\right)-m_i\dot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{d}{dt}\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j} \\ \\
&\Rightarrow&
\displaystyle\sum_im_i\ddot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}
&=
\displaystyle\sum_i\left[\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}\right)-m_i\dot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{d}{dt}\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}\right] \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
\(\textbf{r}_i,\textbf{v}_i\)が\((q_1,q_2,...,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,t)\)をそれぞれ独立な変数に持つとすると(要議論：独立していると仮定する根拠はどこにあるのか？)
\begin{align*}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}\right)
&=
\displaystyle\sum_k\left(\frac{\partial}{\partial q_k}\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}\right)\frac{\partial q_k}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}\right) \\ \\
&=
\displaystyle\sum_k\left(\frac{\partial}{\partial q_j}\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_k}\right)\dot{q}_k+\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial t}\right)&&...\text{偏微分の順番を変えた} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_k\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_k}\dot{q}_k\right)+\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial t}\right)&&...\dot{q_k}\text{は}q_j\text{とは独立しているとし、定数として扱った。} \\ \\
&=
\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\displaystyle\sum_k\left(\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_k}\dot{q}_k\right)+\left(\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial t}\right)\right)& \\ \\
&=
\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{d \textbf{r}_i}{dt}\right)& \\ \\
&=
\frac{\partial}{\partial q_j}\textbf{v}_i& \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(1.46)の両辺を\(\dot{q}_j\)で偏微分すると
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial \dot{q}_j}\textbf{v}_i
&=
\frac{\partial}{\partial \dot{q}_j}\left(\displaystyle\sum_k\frac{\partial \textbf{r}_i}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial \textbf{r}_i}{\partial t}\right) \\ \\
&=
\displaystyle\sum_k\frac{\partial \textbf{r}_i}{\partial q_k}\delta_{j,k}+0&&...\delta_{j,k}=0(j\neq k),1(j=k)\text{となるクロネッカーのデルタ記号を用いた} \\ \\
&=
\frac{\partial \textbf{r}_i}{\partial q_j}
\end{align*}
と導出できる。
\(\textbf{v}_i\)が\(q_1,q_2,...,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,t\)の関数で表されるとき、\(v_i^2=\textbf{v}_i\cdot\textbf{v}_i\)として
\begin{align*}
m_i\textbf{v}_i\cdot\frac{\partial \textbf{v}_i}{\partial\dot{q}_j}
&=
\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}\left(\frac12m_iv_i^2\right)&&...(\ast) \\ \\
m_i\textbf{v}_i\cdot\frac{\partial \textbf{v}_i}{\partial q_j}
&=
\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac12m_iv_i^2\right)&&...(\ast)
\end{align*}
と書くことができる。これを用いて、式(1.45)より
\begin{align*}
\text{式(1.45)左辺}&=
\displaystyle\sum_i\left(\textbf{F}_i-\dot{\textbf{p}}_i\right)\cdot\delta\textbf{r}_i \\ \\
&=
\displaystyle\sum_i\textbf{F}_i\cdot\delta\textbf{r}_i -\displaystyle\sum_i\dot{\textbf{p}}_i\cdot\delta\textbf{r}_i \\ \\
&=
\underbrace{\displaystyle\sum_jQ_j\delta q_j}_{(1)} -\displaystyle\sum_im\ddot{\textbf{r}}_i\cdot\delta\textbf{r}_i&&...\text{(1)式(1.49)より} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_jQ_j\delta q_j -\displaystyle\sum_{j}\sum_{i}m\ddot{\textbf{r}}_i\cdot\frac{\partial\textbf{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j&&...\text{式(1.50)上の式より} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_jQ_j\delta q_j -\displaystyle\sum_{j}\sum_{i}\left[\frac{d}{dt}\left(m_i\textbf{v}_i\cdot\frac{\partial\textbf{v}_i}{\partial \dot{q}_j}\right)-m_i\textbf{v}_i\cdot\frac{\partial\textbf{v}_i}{\partial \dot{q}_j}\right]\delta q_j&&...\text{式(1.51)下の式より} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_jQ_j\delta q_j -\displaystyle\sum_{j}\sum_{i}\left[\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac12m_iv_i^2\right)-\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}\left(\frac12m_iv_i^2\right)\right]\delta q_j&&...\text{上記の}(\ast)\text{より} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_jQ_j\delta q_j -\displaystyle\sum_{j}\left[\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\displaystyle\sum_{i}\frac12m_iv_i^2\right)-\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}\left(\displaystyle\sum_{i}\frac12m_iv_i^2\right)\right]\delta q_j& \\ \\
&=
{\color{red}-}\displaystyle\sum_j\left\{\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\displaystyle\sum_{i}\frac12m_iv_i^2\right)\right]-\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}\left(\displaystyle\sum_{i}\frac12m_iv_i^2\right)-Q_j\right\}\delta q_j& \\ \\
&=
0(=\text{式(1.45)右辺}) \\ \\
&\Leftrightarrow
\displaystyle\sum_j\left\{\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\displaystyle\sum_{i}\frac12m_iv_i^2\right)\right]-\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}\left(\displaystyle\sum_{i}\frac12m_iv_i^2\right)-Q_j\right\}\delta q_j=0
\end{align*}
が得らえる。
式(1.53)より
\begin{align*}
&&
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=-\frac{\partial U}{\partial q_j}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}\right)& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}\right)-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_j}+\frac{\partial U}{\partial q_j}&=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}_j}\right)-\frac{\partial (T-U)}{\partial q_j}&=0 \\ \\
\end{align*}
が得らえることから、\(L=T-U\)となる。
式(1.63)より
\begin{align*}
&&
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}&=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial v_x}\left[\frac12mv^2-q\phi+q\textbf{A}\cdot v\right]\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac12mv^2-q\phi+q\textbf{A}\cdot v\right]&=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial v_x}\left[\frac12m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)-q\phi+q(A_xv_x+A_yv_y+A_zv_z)\right]\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac12m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)-q\phi+q(A_xv_x+A_yv_y+A_zv_z)\right]&=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{d}{dt}\left(mv_x+qA_x\right)-\left[-q\frac{\partial }{\partial x}\phi+q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}v_x+\frac{\partial A_y}{\partial x}v_y+\frac{\partial A_z}{\partial x}v_z\right)\right]&=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{d}{dt}mv_x=-\left(q\frac{dA_x}{dt}\right)+\left[-q\frac{\partial }{\partial x}\phi+q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}v_x+\frac{\partial A_y}{\partial x}v_y+\frac{\partial A_z}{\partial x}v_z\right)\right]& \\ \\
&\Leftrightarrow&
m\ddot{x}=q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}v_x+\frac{\partial A_y}{\partial x}v_y+\frac{\partial A_z}{\partial x}v_z\right)-q\left(\frac{dA_x}{dt}+\frac{\partial }{\partial x}\phi\right)& \\ \\
\end{align*}
が得らえる。