An Introduction To Quantum Field Theoryの行間埋め　第２章

ケン 作成

時間並進の演算子は\(e^{-i H t}\)なので、\(x_0\)から\(x\)に遷移する確率振幅\(U(t)\)は \begin{align*} U(t) & = \bra{x} e^{-i H t} \ket{x_0} \\ & = \bra{x} e^{-i p^2 / (2m)} \ket{x_0} \\ & = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bra{x} e^{-i p^2 / (2m)} \ket{p} \braket{p|x_0} & \text{（完全性関係を利用）} \\ & = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-i p^2 / (2m)} \braket{x|p} \braket{p|x_0} \\ & = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-i p^2 / (2m)} e^{i \mathbf{p} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)} & (\braket{x|p} = e^{i \mathbf{x} \cdot \mathbf{p}}) \\ & = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{- \frac{it}{2m}(p + \frac{m}{t}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0))^2} e^{\frac{im}{2t}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^2} \\ & = \frac{1}{(2\pi)^3} \left( \frac{2m\pi}{it} \right)^{3/2} e^{\frac{im}{2t}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^2} & \text{（ガウス積分）} \\ & = \left( \frac{m}{2\pi i t} \right)^{3/2} e^{\frac{im}{2t}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^2} \end{align*} 4行目では運動量の固有値を取るので、指数関数はブラケットの外に出すことができる。

ケン 作成

\begin{align*} & \int d^3p \, e^{-it\sqrt{p^2 + m^2}} e^{i \mathbf{p} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)} \\ & = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\infty p^2 dp \int_{-1}^1 d\mu \, e^{-it\sqrt{p^2 + m^2}} e^{ip|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|\mu} \\ & = 2\pi \int_0^\infty p^2 dp \frac{1}{ip|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} e^{-it\sqrt{p^2 + m^2}} (e^{ip|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} - e^{-ip|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|}) \\ & = 4\pi \int_0^\infty dp \, p \sin(p|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|) e^{-it\sqrt{p^2 + m^2}} \end{align*}

ケン 作成

\[ \partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \delta \phi\right) = \partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right) \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial_\mu (\delta \phi), \quad \partial_\mu (\delta \phi) = \delta(\partial_\mu \phi) \] であるから、 \begin{align*} 0 & = \delta S \\ & = \int d^4 x \, \delta \mathcal{L} \\ & = \int d^4 x \left\{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\delta(\partial_\mu \phi) \right\} \\ & = \int d^4 x \left\{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta \phi - \partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right) \delta \phi + \partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \delta \phi\right) \right\} & \text{（上の計算を代入）} \end{align*} 作用積分が収束するには場\(\phi\)が遠方では急速に0に近づく必要があるから、無限遠の値を参照する表面積分の項は0となる。また、変分\(\delta \phi\)は任意であるから、変分法の原理より\(\delta \phi\)の係数は常に0である。したがって \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right) = 0 \]

ケン 作成

作用積分Sが \[ S = \int d^4 x \, \mathcal{L} \] で与えられているので、何らかの変分に対しラグランジアン密度が \[ \mathcal{L} \to \mathcal{L}' = \mathcal{L} + \alpha \partial_\mu \mathcal{J}^\mu (x) \] （\(\alpha\)は微小定数）と変化する限りは作用積分は変わらず、したがって運動方程式も不変である。 \begin{align*} \because S' & = \int d^4 x \, \mathcal{L}' \\ & = \int d^4 x (\mathcal{L} + \alpha \partial_\mu \mathcal{J}^\mu (x)) \\ & = S + \alpha \int d^4 x \, \partial_\mu \mathcal{J}^\mu (x) \end{align*} となるが表面積分は先に見たように0となるからである。 ここで変分 \[ \phi(x) \to \phi'(x) = \phi(x) + \alpha \Delta \phi(x) \] において、\(\mathcal{L}\)の変化を見てみよう。先の計算と同様にして \[ \alpha \Delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} (\alpha \Delta \phi) + \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right)\partial_\mu (\alpha \Delta \phi) = \alpha \partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \Delta \phi\right) + \alpha \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right)\right] \Delta \phi \] と書けるが、第二項はオイラー方程式から0となる。したがって \[ j^\mu (x) := \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \Delta \phi - \mathcal{J}^\mu \] と定めると \[ \partial_\mu j^\mu (x) = 0 \] となる。

ケン 作成

\[ \phi \to e^{i\alpha} \phi = (1 + i\alpha + O(\alpha^2)) \phi \] なので\(\alpha\)が微少量である時、2次の項を無視して(2.15)式を得る。 また \[ \mathcal{L} = |\partial_\mu \phi|^2 - m^2 |\phi|^2 \] のとき、この変分でラグランジアンは変化しないから、 \[ \mathcal{J} = 0 \] であり、 \[ j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \Delta \phi + \text{c.c.} \] を計算することで(2.15)式を得る。（ここでc.c.はComplex conjugate, 複素共役の略で、直前の項の複素共役である。今回\(\phi\)は複素場なので\(\phi^*\)による微分の項が出てくることに注意）

ケン 作成

\[ \phi = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} (a + a^\dagger), \quad p = -i \sqrt{\frac{\omega}{2}}(a - a^\dagger) \] と \[ [\phi, p] = i \] より \begin{align*} i & = [\phi, p] \\ & = - \frac{i}{2} [(a + a^\dagger), (a - a^\dagger)] \\ & = -\frac{i}{2} \{[a^\dagger, a] - [a, a^\dagger]\} \\ & = i [a, a^\dagger] \end{align*} となる。したがって \[ [a, a^\dagger] = 1 \]

ケン 作成

クラインゴルドン場を単振動場と同様にフーリエ空間で表したいが、エネルギーが波数に依存することから分かるように、生成消滅演算子\(a, a^\dagger\)も波数に依存する。そこで、\(\phi, \pi\)が実場であることを考慮すると、 \begin{align*} \phi(x) & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} ( a_{\mathbf{p}} e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}) \\ \pi(x) & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} (-i) \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} ( a_{\mathbf{p}} e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} - a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}) \end{align*} と表せるのである。ただし、意味ありげに出てきた\(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\)と\((-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}}\)はこれらが相対論的に不変である（ローレンツ変換で変化しない）ために必要。 - (2.30)の計算 \begin{align*} \phi(x) & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} ( a_{\mathbf{p}} + a_{-\mathbf{p}}^\dagger ) e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \\ \pi(x) & = \int \frac{d^3\mathbf{p}'}{(2\pi)^3} (-i) \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}'}}{2}} ( a_{\mathbf{p}'} - a_{-\mathbf{p}'}^\dagger )e^{i \mathbf{p}' \cdot \mathbf{x}} \end{align*} と\(\pi(x)\)の積分変数を\(p'\)と変えてから代入し、交換関係 \[ [a_{\mathbf{p}}, a^\dagger_{\mathbf{p}'}] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{p}'), \quad [a_{\mathbf{p}}, a_{\mathbf{p}'}] = [a^\dagger_{\mathbf{p}}, a^\dagger_{\mathbf{p}'}] = 0 \] を使って整理すると \begin{align*} [\phi(x), \pi(x')] & = \int \frac{d^3\mathbf{p} \, d^3\mathbf{p}'}{(2\pi)^6} \frac{-i}{2} \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}'}}{\omega_{\mathbf{p}}}} ([a^\dagger_{-\mathbf{p}}, a_{\mathbf{p}'}] + [a_{\mathbf{p}}, -a^\dagger_{-\mathbf{p}'}]) e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + \mathbf{p}' \cdot \mathbf{x}')} \\ & = \int \frac{d^3\mathbf{p} \, d^3\mathbf{p}'}{(2\pi)^6} \frac{-i}{2} \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}'}}{\omega_{\mathbf{p}}}} \{ (-1)(2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{p}') - (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{p}') \} e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + \mathbf{p}' \cdot \mathbf{x}')} \\ & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} i \sqrt{\frac{\omega_{-\mathbf{p}}}{\omega_{\mathbf{p}}}} e^{i \mathbf{p}(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} \\ & = \frac{i}{(2\pi)^3} \int d^3\mathbf{p} \, e^{i \mathbf{p}(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} \\ & = i \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}') \end{align*} ここで、\(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\)であることに注意

ケン 作成

これも(2.30)の計算と同様に\(\phi, \pi\)の片方の積分変数を\(p'\)に変えてから代入すればよく、 \[ \nabla \phi = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{i\mathbf{p}}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} ( a_{\mathbf{p}} + a_{-\mathbf{p}}^\dagger ) e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \] であるから \begin{align*} H & = \int d^3x \left[ \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2}m^2 \phi^2 \right] \\ & = \int d^3x \int \frac{d^3\mathbf{p} \, d^3\mathbf{p}'}{(2\pi)^6} \\ & \quad e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{p}') \cdot \mathbf{x}} \left\{ \frac{1}{2} \frac{\sqrt{\omega_{\mathbf{p}} \omega_{\mathbf{p}'}}}{2} (a_{\mathbf{p}} - a^\dagger_{-\mathbf{p}})(a_{\mathbf{p}'} - a^\dagger_{-\mathbf{p}'}) + \frac{1}{2} \frac{-\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}' + m^2}{2\sqrt{\omega_{\mathbf{p}} \omega_{\mathbf{p}'}}} (a_{\mathbf{p}} + a^\dagger_{-\mathbf{p}})(a_{\mathbf{p}'} + a^\dagger_{-\mathbf{p}'}) \right\} \end{align*} ここで \[ \int d^3x \, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{p}') \cdot \mathbf{x}} = (2\pi)^3 \delta(\mathbf{p}+\mathbf{p}') \] であるから, \(x\)について積分した後\(p'\)について積分し、\(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\)と\(p^2 + m^2 = \omega_p^2\)であることに注意すると \begin{align*} H & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{4} [-(a_{\mathbf{p}} - a_{-\mathbf{p}}^\dagger)(a_{-\mathbf{p}} - a_{\mathbf{p}}^\dagger) + (a_{\mathbf{p}} + a_{-\mathbf{p}}^\dagger)(a_{-\mathbf{p}} + a_{\mathbf{p}}^\dagger)] \\ & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{4} \cdot 2(a_{\mathbf{p}} a_{\mathbf{p}}^\dagger + a_{-\mathbf{p}}^\dagger a_{-\mathbf{p}}) \end{align*} 第二項目の積分変数を\(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)と変えれば、 \begin{align*} H & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2} (a_{\mathbf{p}} a_{\mathbf{p}}^\dagger + a_{\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}}) \\ & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \omega_{\mathbf{p}} (a_{\mathbf{p}} a_{\mathbf{p}}^\dagger + \frac{1}{2}[a_{\mathbf{p}}, a_{\mathbf{p}}^\dagger]) \end{align*}

ケン 作成

\[ [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B \] を使う。 (2.30)式の第二項のデルタ関数を無視すると \[ [H, a_{\mathbf{p}}^\dagger] = \int \frac{d^3\mathbf{p}'}{(2\pi)^3} \omega_{\mathbf{p}'} [a_{\mathbf{p}'} a_{\mathbf{p}'}^\dagger, a_{\mathbf{p}}^\dagger] \] \[ [a_{\mathbf{p}'} a_{\mathbf{p}'}^\dagger, a_{\mathbf{p}}^\dagger] = a_{\mathbf{p}'} [a_{\mathbf{p}'}^\dagger, a_{\mathbf{p}}^\dagger] + [a_{\mathbf{p}'}, a_{\mathbf{p}}^\dagger] a_{\mathbf{p}'}^\dagger = (2\pi)^3 \delta(\mathbf{p}' - \mathbf{p}) a_{\mathbf{p}'}^\dagger \] なので \[ [H, a_{\mathbf{p}}^\dagger] = \omega_{\mathbf{p}} a_{\mathbf{p}}^\dagger \]

ケン 作成

\begin{align*} \mathbf{P} & = - \int d^3x \, \pi \nabla \phi \\ & = -\int \frac{d^3\mathbf{p} \, d^3\mathbf{p}'}{(2\pi)^3} \delta(\mathbf{p}+\mathbf{p}') \frac{\mathbf{p}}{2} \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{\omega_{\mathbf{p}'}}} (a_{\mathbf{p}} - a_{-\mathbf{p}}^\dagger)(a_{\mathbf{p}'} + a_{-\mathbf{p}'}^\dagger) \\ & = - \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{\mathbf{p}}{2} (a_{\mathbf{p}} a_{-\mathbf{p}} + a_{\mathbf{p}} a_{\mathbf{p}}^\dagger - a_{-\mathbf{p}}^\dagger a_{-\mathbf{p}} - a_{-\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}}^\dagger) \end{align*} ここで、\(p a_p a_{-p}\)と\(p a_{-p}^\dagger a_p^\dagger\)は奇関数であるから、積分すると消える。したがって \[ \mathbf{P} = - \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{\mathbf{p}}{2} (a_{\mathbf{p}} a_{\mathbf{p}}^\dagger - a_{-\mathbf{p}}^\dagger a_{-\mathbf{p}}) \] また第二項は\(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\)と積分変数を変更すると \begin{align*} \mathbf{P} & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \frac{\mathbf{p}}{2} (a_{\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}} - a_{\mathbf{p}} a_{\mathbf{p}}^\dagger) \\ & = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3} \mathbf{p} (a_{\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2}[a_{\mathbf{p}}, a_{\mathbf{p}}^\dagger]) \end{align*} 最後の交換関係から出てくるデルタ関数はp.22上部の議論から無視できるので、(2.33)式を得る。